Рассмотрим ситуацию, когда $$$x^2 \equiv y^2 \pmod{p}$$$, это равносильно тому, что $$$x^2 - y^2 \equiv 0 \pmod{p}$$$. Используем формулу разности квадратов, получим $$$(x - y) \cdot (x + y) \equiv 0 \pmod{p}$$$. Отсюда следует, что либо $$$x - y \equiv 0 \pmod{p}$$$, либо $$$x + y \equiv 0 \pmod{p}$$$, то есть либо $$$x \equiv y \pmod{p}$$$, либо $$$x \equiv -y \pmod{p}$$$.

Получается, что все числа разбиваются на пары $$$x$$$ и $$$-x$$$, значит у каждого квадратичного вычета ровно $$$2$$$ корня, при этом каждое число является корнем какого-то квадратичного вычета $$$\implies$$$ квадратичных вычетов ровно $$$\frac{p - 1}{2}$$$ $$$\implies$$$ квадратичных невычетов $$$p - 1 - \frac{p - 1}{2} = \frac{p - 1}{2}$$$.

$$$B \cdot B = B$$$

Пусть $$$x$$$ и $$$y$$$ квадратичные вычеты, пусть $$$a^2 \equiv x \pmod{p}$$$ и $$$b^2 \equiv y \pmod{p}$$$. Тогда $$$(ab)^2 \equiv xy \pmod{p}$$$.

$$$H \cdot B = H$$$

Пусть $$$x$$$ квадратичный невычет, а $$$y$$$ квадратичный вычет, докажем, что $$$\frac{1}{y}$$$ тоже квадратичный вычет. Пусть $$$b^2 \equiv y \pmod{p}$$$, тогда $$$(\frac{1}{b})^2 \equiv \frac{1}{y}$$$.

$$$x \cdot y \equiv z \pmod{p}$$$, предположим, что $$$z$$$ квадратичный вычет, тогда $$$x \equiv z \cdot \frac{1}{y}$$$ $$$\implies$$$ $$$x$$$ квадратичный вычет, так как $$$z$$$ квадратичный вычет и $$$\frac{1}{y}$$$ квадратичный вычет. Противоречие $$$\implies$$$ $$$z$$$ квадратичный невычет.

$$$H \cdot H = B$$$

Пусть $$$x$$$ и $$$y$$$ квадратичные невычеты, $$$x \cdot y \equiv z \pmod{p}$$$ и $$$z$$$ квадратичный невычет, а $$$a_1, a_2, a_3 \cdots, a_{\frac{p - 1}{2}}$$$ все квадратичные вычеты. Рассмотрим следующий набор вычетов $$$xa_1, xa_2, xa_3, \cdots, xa_{\frac{p - 1}{2}}, xy$$$. В этом наборе все числа квадратичные невычеты, но чисел в наборе $$$\frac{p + 1}{2}$$$, а это больше чем квадратичных невычетов $$$\implies$$$ в наборе есть $$$2$$$ равных числа. Заметим, что если $$$xk \equiv xl \pmod{p}$$$ и $$$x$$$ не кратно $$$p$$$, то $$$k \equiv l \pmod{p}$$$. Значит в наборе $$$a_1, a_2, a_3 \cdots, a_{\frac{p - 1}{2}}, y$$$ есть равные числа, но в этом наборе все числа различны ($$$a_i \ne a_j$$$, так как мы взяли различные квадратичные вычеты, а $$$y \ne a_i$$$, так как $$$y$$$ квадратичный невычет, а $$$a_i$$$ квадратичный вычет). Противоречие, значит $$$z$$$ квадратичный вычет.