Рассмотрим ситуацию, когда $$$x^2 \equiv y^2 \pmod{p}$$$, это равносильно тому, что $$$x^2 - y^2 \equiv 0 \pmod{p}$$$. Используем формулу разности квадратов, получим $$$(x - y) \cdot (x + y) \equiv 0 \pmod{p}$$$. Отсюда следует, что либо $$$x - y \equiv 0 \pmod{p}$$$, либо $$$x + y \equiv 0 \pmod{p}$$$, то есть либо $$$x \equiv y \pmod{p}$$$, либо $$$x \equiv -y \pmod{p}$$$.

Получается, что все числа разбиваются на пары $$$x$$$ и $$$-x$$$, значит у каждого квадратичного вычета ровно $$$2$$$ корня, при этом каждое число является корнем какого-то квадратичного вычета $$$\implies$$$ квадратичных вычетов ровно $$$\frac{p - 1}{2}$$$ $$$\implies$$$ квадратичных невычетов $$$p - 1 - \frac{p - 1}{2} = \frac{p - 1}{2}$$$.