Блог пользователя Aksenov239

Забавы 1. Семиклассник.
Автор Aksenov239, 14 лет назад, По-русски

Вчера, у меня на кружке по программированию был семиклассник, у него я подглядел несколько задач по математике. Вы можете проверить свои силы. И понять - "Умнее ли Вы семиклассника?".

Значит, задачи:
1); Докажите, что если , то .
2); Решите систему уравнений - x1 + x2 = x32, x2 + x3 = x42, x3 + x4 = x52, x4 + x5 = x12, x5 + x1 = x22.
3); Дан четырёхугольник ABCD. AB = BC, , , . Найти углы четырёхугольника.

Рискните. :-)! Правда - математикам будет не особо интересно.
  • Проголосовать: нравится
  • +8
  • Проголосовать: не нравится

14 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится +8 Проголосовать: не нравится
В первом примере в знаменателе точно b - a, а не a - b?
→ Ответить
14 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится +2 Проголосовать: не нравится
Первая решается с помощью Чебышева или Коши...?
→ Ответить
  • 14 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    я в седьмом классе таких фамилий и не слыхал даже =)
    → Ответить
  • 14 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    Как мне казалось, есть неравенства Чебышёва и Коши. А вот равенств... Я не припомню.
    → Ответить
  • 14 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +30 Проголосовать: не нравится
    Если одного из этих двух ученых попросить помочь, то без проблем решатся все три.
    → Ответить
14 лет назад, # |
← Rev. 2   Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Первая решается с помощью следующего симпатичного тождества: . 

Удивительно, но это элементарнейшее тождество неоднократно встречалось мне в научной работе. Так что для меня первая не считается :) 

UPD. Хотя не исключено, что задача решается проще.
→ Ответить
  • 14 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +8 Проголосовать: не нравится
    Можно записать . Теперь разделим на b - c и посчитаем аналогичное для остальных двух слагаемых. После сложения сумма будет 0 (знаменатели будут одинаковые)
    → Ответить
14 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
Вторая: не нарушая общности, предположим, что x1 - самое большое число. Вычтем из последнего уравнения предпоследнее. Получим x4 - x1 = (x1 - x2)(x1 + x2). Левая часть x4 - x1 ≤ 0. В правой части x1 - x2 ≥ 0, x1 + x2 = x32 ≥ 0. Отсюда обе части равны нулю и x4 = x1. Продолжая рассуждения, получаем равенство всех пяти чисел, что быстро приводит к решению системы.
→ Ответить
  • 14 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    А я все через одно место решил:
    Перемножим уравнения и применим в левой части для каждого множителя неравенство о средних. Получим 32x1x2x3x4x5 ≤ x12 x22 x32 x42 x52. Значит либо произведение равно 0, либо оно не меньше 32 (причем равенство возможно только в случае всех равных xi)
    Тогда из второго случая имеем корень xi = 2, либо, без нарушения общности, |x1| > 2 и x1 самое большое по модулю. Но тогда его квадрат больше суммы x4 и x5. Противоречие
    В первом случае пусть x1 = 0. Тогда можно вывести, что x2 = x32, x5 = x34 и x4 =  - x34. Тогда оставшиеся 2 уравнения превратятся в x38 = x32 + x3 и x3 = x34 + x38, откуда x38 = x32 + x34 + x38, откуда x3 = 0, а значит все xi равны 0
    → Ответить
    • 14 лет назад, # ^ |
      ← Rev. 3   Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      Егор, если честно - Ваше решение не совсем является правильным. Нельзя использовать неравенство о средних для отрицательных чисел. :-)!
      → Ответить
14 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
В 3й A=50; B=100; C=80; D=130?
→ Ответить
  • 14 лет назад, # ^ |
    ← Rev. 2   Проголосовать: нравится +5 Проголосовать: не нравится

    У меня получается A=57.5 и C=72.5.

    UPD: у меня аналитическое решение, если че.
    → Ответить
    • 14 лет назад, # ^ |
      ← Rev. 2   Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится


      → Ответить
      • 14 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится +1 Проголосовать: не нравится
        Утверждение 1) было бы верно только тогда, если бы вокруг четырёхугольника можно было бы описать окружность. Это не так, т.к. .
        → Ответить
    • 14 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
      Тернарник подтверждает, что это правильно :) Аналитического решения пока найти не могу.
      → Ответить
14 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
Еще одна несложная задача, пока вспомнил и не забыл:

В треугольнике ABC . Докажите, что 2AC < 2BC + AB.
→ Ответить
14 лет назад, # |
← Rev. 2   Проголосовать: нравится +1 Проголосовать: не нравится

Надеюсь, Вам понравилось. :-)!
→ Ответить