Идея: Если n чётное — все x уничтожатся парами, останется 0. Если n нечётное — один x останется, значит ответ равен x.

Примеры:

• n = 4, x = 5 → все уничтожились → 0.
• n = 5, x = 7 → остался один → 7.

Идея: Двигаясь по одной оси, мы неизбежно проходим и через вторую. То есть соберём все лазеры — n по оси X и m по оси Y.

Ответ: n + m.

Пример:

• n = 3, m = 2 → всего 5.

Идея: Введём sign(x) — сторону зала перед минутой x.

1. Знаки разные (0 1 или 1 0): Пусть x = 2, y = 5, sign = 1 0. Возможная комбинация: 2^0, 3^1, 4^0. Если увеличить y, комбинация не меняется. Вывод: разница (y-x) должна быть нечётной, иначе уменьшаем её на 1.

2. Знаки одинаковые (0 0 или 1 1): Пусть x = 2, y = 3, sign = 1 1. Возможная комбинация: 2^0, 3^1. Если увеличить y, получится: 2^0, 3^1, 4^0, 5^1. Здесь наоборот: если (y-x) нечётное, уменьшаем на 1.

Также:

• Добавляем (0,0) в начало, так как начинаем с минуты 0.
• Последняя минута может быть меньше k, поэтому добавляем ещё (k-last).

Идея: Газонокосилка меняет состояние только на нечётных элементах.

1. Начинаем с суммы массива.
2. Считаем количество нечётных элементов = length.
3. Влияет только половина — length/2.

• Почему? Первое нечётное меняет состояние, второе возвращает, третье снова меняет… Каждая пара компенсируется.

1. Чтобы уменьшение суммы было минимальным, убираем length/2 наименьших нечётных.

Пример:

• a = [3, 5, 2, 4, 7], сумма = 21.
• Нечётные = [3, 5, 7], нужно убрать 1 минимальный → 3.
• Ответ = 18.

Идея: Определим «потрясающий» отрезок: в нём все элементы встречаются кратно k.

Метод: скользящее окно.

• Двигаем правую границу, учитывая количество каждого числа.
• Если условие нарушено — двигаем левую границу.
• Когда окно «потрясающее», добавляем (r - l + 1) в ответ.

Пример:

• a = [1, 2, 1, 2], k = 2.
• Окно [1,2] → частоты 1,1, не делятся.
• Окно [1,2,1,2] → частоты 2,2, подходят → ответ увеличивается.

Идея: Нужно симулировать:

1. Берём лексикографически минимальный массив.
2. Удаляем все массивы длины ≤ его длины.
3. У остальных обрезаем первые элементы.

Почему работает:

• Сумма длин ≤ 2 * 10^5.
• В худшем случае массивы длиной 1, 2, 3, …, x.
• Тогда x ≈ 632. Симуляция успевает.

Идея: Функция g(x) = последний индекс, где gcd уменьшился.

1. Рассмотрим делители чисел.
2. Пусть cnt[d] = количество чисел, делящихся на d.

• Если cnt[d] ≥ i → gcd массива = d, не подходит.
• Если cnt[d] < i → можно обновить максимум.

Пример:

• a = [6, 10, 15].
• gcd(6,10) = 2, gcd(6,10,15) = 1.
• Значит, g(2) = 2.