## Теоретическая база↵
↵
Если вы давно решаете задачи Div1-Div2 на Codeforces, то наверняка уже слышали про **сегментное дерево**. Звучит возможно для кого-то страшно и не понятно, но на деле это очень полезная структура данных. Проще говоря, сегментное дерево — это такое бинарное дерево, в узлах которого хранятся агрегированные данные о каком-то отрезке массива. За счёт этой древовидной структуры мы можем быстро отвечать на запросы о произвольных сегментах массива да и не только отвечать, но и обновлять элементы.↵
↵
Представьте, что у нас есть массив, и требуется многократно узнавать что-то про подотрезки этого массива, например, сумму элементов, минимум, максимум, количество каких-то значений и т.д. Сегментное дерево позволяет делать такие запросы очень быстро — обычно за O(log n) на каждый запрос вместо тривиального O(n) перебора. При этом оно достаточно гибкое, поддерживает изменение отдельных элементов, а с дополнительными трюками (ленивые пропагации) может даже массово обновлять целые диапазоны за то же логарифмическое время. В общем, сегментник может довольно хорошо оптимизировать алгоритм программы, когда обычных массивов и сортировок уже не хватает.↵
↵
_Пример сегментного дерева, построенного для массива arr = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Каждый узел хранит сумму на соответствующем отрезке: корень содержит 36 (сумма на всём отрезке [0;5]), его дети – суммы на [0;2] и [3;5] (9 и 27) и так далее._↵
↵
↵
↵
#### Как это работает?↵
↵
Мы рекурсивно делим массив пополам, пока не дойдём до отдельных элементов. Эти элементы — листья дерева. Затем начинаем “склеивать” информацию снизу вверх: каждый внутренний узел вычисляется из двух дочерних. Например, если нам нужны суммы, то значение узла = сумма левого сына + сумма правого сына. Если нужны минимумы — берём минимум из двух детей, и т.д. В итоге корень хранит агрегат (сумму/мин/макс и пр.) по всему массиву, а путь от корня к листу соответствует делению отрезка на подотрезки.↵
↵
#### Когда это нужно?↵
↵
Сегментное дерево может быть использовано, когда:↵
1. Нужно эффективно отвечать на запросы о подмножествах элементов массива (сумма на отрезке, максимум на отрезке, НОД на отрезке и т.п.) и при этом между запросами могут происходить изменения отдельных элементов или целых диапазонов, то есть данные динамические. В таком случае простое предвычисление всех ответов не поможет↵
2. Запросов и обновлений много (десятки и сотни тысяч) и делать их за линейное время слишком медленно↵
↵
Сегментное дерево обеспечивает ~O,2025-03-19(log n) на один запрос или обновление, что обычно укладывается в лимиты при n и количестве запросов порядка 10^5. При этом память сегментника ~4*n элементов для массива размера n — тоже вполне ок.↵
↵
#### Примеры задач, решаемых сегментным деревом↵
↵
Диапазонные суммы, поиск минимума/максимума на отрезке, количество определённых элементов на отрезке, проверка упорядоченности сегмента, даже поиск k-го по счёту элемента. Например, с помощью сегментного дерева можно легко узнать, сколько нулей в заданном диапазоне или найти индекс k-го нуля в массиве. Кстати, именно такую задачу мы сейчас рассмотрим на практике.↵
↵
## Практическая часть↵
↵
Давайте на примере рассмотрим задачу [problem:2075F] с недавнего контеста [contest:2075], решив её при помощи сегментного дерева и проведём аналогию в сравнении с решением "в лоб".↵
↵
Рассмотрим решение данной задачи от [user:wishgoodluck,2025-03-19] — [submission:311252841]. Идея данного алгоритма основана на «событийном подходе». Мы предварительно вычисляем два массива (назовём их l и r), которые фиксируют важные границы в исходной последовательности. Эти массивы помогают определить, для каких отрезков происходит «изменение» (увеличение или уменьшение вклада в итоговый ответ). Затем формируется вектор событий — каждый элемент этого вектора задаёт, что на определённом отрезке надо добавить или убрать некоторое значение. В финале итоговая длина искомой последовательности получается как максимальное суммарное изменение.↵
↵
Ключевая задача заключается в том, чтобы быстро и эффективно обрабатывать множество событий, которые влияют на диапазоны индексов. Именно для этого и используется сегментное дерево.↵
↵
В данном решении сегментное дерево применяется для двух операций:↵
↵
- Диапазонное обновление (Range Update). Каждое событие из вектора v задаёт, что на отрезке [l,r] нужно прибавить либо +1, либо -1. Сегментное дерево с ленивыми обновлениями позволяет за O(log n) за одно событие обновить сразу весь отрезок, не проходясь по каждому элементу отдельно.↵
- Запрос максимума (Range Query). После каждого обновления нам нужно быстро узнать, каково максимальное значение на всём диапазоне. Корень дерева (Tree[1].v) всегда хранит максимум среди всех элементов. Это позволяет мгновенно (за O(1) после O(log n) обновлений) узнать текущее оптимальное значение, которое потом используется для вычисления ответа.↵
↵
Таким образом, сегментное дерево здесь выступает как «агрегатор» всех событий, аккумулируя их влияние на заданных отрезках и позволяя быстро находить максимум.↵
↵
Представьте себе задачу, где нужно на каждом шаге для каждого события обновить все элементы отрезка. Если диапазон имеет длину m, то наивное обновление занимает O(m) операций. При m∼n и O(n) событиях получаем O(n^2) операций. Это решение быстро станет неприемлемым по времени даже для средних размеров входных данных.↵
↵
В отличие от этого, сегментное дерево позволяет обновлять целые диапазоны за ↵
O(log n) благодаря ленивой пропагации. Таким образом, даже если событий много, общая сложность становится ↵
O(n*log n).↵
↵
## Подводные камни и советы↵
↵
Сегментное дерево — штука мощная, но при реализации можно допустить несколько типовых ошибок:↵
↵
- Неправильное слияние результатов. Забудете, что нужно суммировать детей, или перепутаете левый/правый и вся логика разрушится. Внимательно определяйте, что хранит узел, и как это получается из информации детей.↵
- Границы отрезков. Легко ошибиться с индексами left, right и middle. Условились, что сегмент [left..right] включительный. Тогда middle = (left+right)/2 – левая часть [left..middle], правая [middle+1..right]. Если забудете +1 где нужно – получите перекрывающиеся или пропущенные индексы. Совет: отладьте на маленьком массиве, например, n=4 и выпишите на бумажке сегменты каждого узла, проверьте, что покрывают массив без пробелов и наложений.↵
- Рекурсия vs итерация. Мы рассмотрели рекурсивное решение для простоты понимания, но при n ~ 10^5 глубина рекурсии ~17 – это ок, а вот если бы n ~ 10^7, глубина ~24, всё ещё ок. При сильно больших n и особенно при большом количестве операций иногда предпочитают итеративные реализации во избежание накладных расходов и риска переполнения стека.↵
- Ленивые обновления. В нашем примере мы как раз их использовали, обновляя сразу целый диапазон. Обратите внимание, что реализация ленивых тегов сложнее — легко напутать с распространением изменений на детей. Если задача требует сегментник с lazy, тестируйте на простых примерах усиленно. Типичные ошибки: забыли запушить лейзи-тег перед дальнейшим спуском или перед подсчётом в узле — получите некорректные данные. Совет: написать отдельную функцию push(v) для распространения тега из узла v на детей, и вызывать где нужно, например перед переходом в поддеревья.↵
- Выбор между Fenwick (BIT) и сегментным деревом. Часто они взаимозаменяемы для простых задач на суммы, порядковую статистику. Fenwick легче кодится и требует ~n,2025-03-19 памяти, но сегментное дерево более универсально, поддерживает сложные операций слияния. Если задача допускает Fenwick и вы не хотите тратить время на реализацию дерева — дерзайте с Fenwick, однако сегментник — must know для Div1-Div2 уровня.↵
↵
Напоследок дам небольшой лайфхак — если задача просто требует многократных запросов суммы на отрезке без обновлений, то и сегментное дерево не нужно, достаточно просто будет заранее посчитать префиксные суммы за O(n) и потом каждый запрос отвечать за O(1).
↵
Если вы давно решаете задачи Div1-Div2 на Codeforces, то наверняка уже слышали про **сегментное дерево**. Звучит возможно для кого-то страшно и не понятно, но на деле это очень полезная структура данных. Проще говоря, сегментное дерево — это такое бинарное дерево, в узлах которого хранятся агрегированные данные о каком-то отрезке массива. За счёт этой древовидной структуры мы можем быстро отвечать на запросы о произвольных сегментах массива да и не только отвечать, но и обновлять элементы.↵
↵
Представьте, что у нас есть массив, и требуется многократно узнавать что-то про подотрезки этого массива, например, сумму элементов, минимум, максимум, количество каких-то значений и т.д. Сегментное дерево позволяет делать такие запросы очень быстро — обычно за O(log n) на каждый запрос вместо тривиального O(n) перебора. При этом оно достаточно гибкое, поддерживает изменение отдельных элементов, а с дополнительными трюками (ленивые пропагации) может даже массово обновлять целые диапазоны за то же логарифмическое время. В общем, сегментник может довольно хорошо оптимизировать алгоритм программы, когда обычных массивов и сортировок уже не хватает.↵
↵
_Пример сегментного дерева, построенного для массива arr = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Каждый узел хранит сумму на соответствующем отрезке: корень содержит 36 (сумма на всём отрезке [0;5]), его дети – суммы на [0;2] и [3;5] (9 и 27) и так далее._↵
↵
↵
↵
#### Как это работает?↵
↵
Мы рекурсивно делим массив пополам, пока не дойдём до отдельных элементов. Эти элементы — листья дерева. Затем начинаем “склеивать” информацию снизу вверх: каждый внутренний узел вычисляется из двух дочерних. Например, если нам нужны суммы, то значение узла = сумма левого сына + сумма правого сына. Если нужны минимумы — берём минимум из двух детей, и т.д. В итоге корень хранит агрегат (сумму/мин/макс и пр.) по всему массиву, а путь от корня к листу соответствует делению отрезка на подотрезки.↵
↵
#### Когда это нужно?↵
↵
Сегментное дерево может быть использовано, когда:↵
1. Нужно эффективно отвечать на запросы о подмножествах элементов массива (сумма на отрезке, максимум на отрезке, НОД на отрезке и т.п.) и при этом между запросами могут происходить изменения отдельных элементов или целых диапазонов, то есть данные динамические. В таком случае простое предвычисление всех ответов не поможет↵
2. Запросов и обновлений много (десятки и сотни тысяч) и делать их за линейное время слишком медленно↵
↵
Сегментное дерево обеспечивает ~O,2025-03-19(log n) на один запрос или обновление, что обычно укладывается в лимиты при n и количестве запросов порядка 10^5. При этом память сегментника ~4*n элементов для массива размера n — тоже вполне ок.↵
↵
#### Примеры задач, решаемых сегментным деревом↵
↵
Диапазонные суммы, поиск минимума/максимума на отрезке, количество определённых элементов на отрезке, проверка упорядоченности сегмента, даже поиск k-го по счёту элемента. Например, с помощью сегментного дерева можно легко узнать, сколько нулей в заданном диапазоне или найти индекс k-го нуля в массиве. Кстати, именно такую задачу мы сейчас рассмотрим на практике.↵
↵
## Практическая часть↵
↵
Давайте на примере рассмотрим задачу [problem:2075F] с недавнего контеста [contest:2075], решив её при помощи сегментного дерева и проведём аналогию в сравнении с решением "в лоб".↵
↵
Рассмотрим решение данной задачи от [user:wishgoodluck,2025-03-19] — [submission:311252841]. Идея данного алгоритма основана на «событийном подходе». Мы предварительно вычисляем два массива (назовём их l и r), которые фиксируют важные границы в исходной последовательности. Эти массивы помогают определить, для каких отрезков происходит «изменение» (увеличение или уменьшение вклада в итоговый ответ). Затем формируется вектор событий — каждый элемент этого вектора задаёт, что на определённом отрезке надо добавить или убрать некоторое значение. В финале итоговая длина искомой последовательности получается как максимальное суммарное изменение.↵
↵
Ключевая задача заключается в том, чтобы быстро и эффективно обрабатывать множество событий, которые влияют на диапазоны индексов. Именно для этого и используется сегментное дерево.↵
↵
В данном решении сегментное дерево применяется для двух операций:↵
↵
- Диапазонное обновление (Range Update). Каждое событие из вектора v задаёт, что на отрезке [l,r] нужно прибавить либо +1, либо -1. Сегментное дерево с ленивыми обновлениями позволяет за O(log n) за одно событие обновить сразу весь отрезок, не проходясь по каждому элементу отдельно.↵
- Запрос максимума (Range Query). После каждого обновления нам нужно быстро узнать, каково максимальное значение на всём диапазоне. Корень дерева (Tree[1].v) всегда хранит максимум среди всех элементов. Это позволяет мгновенно (за O(1) после O(log n) обновлений) узнать текущее оптимальное значение, которое потом используется для вычисления ответа.↵
↵
Таким образом, сегментное дерево здесь выступает как «агрегатор» всех событий, аккумулируя их влияние на заданных отрезках и позволяя быстро находить максимум.↵
↵
Представьте себе задачу, где нужно на каждом шаге для каждого события обновить все элементы отрезка. Если диапазон имеет длину m, то наивное обновление занимает O(m) операций. При m∼n и O(n) событиях получаем O(n^2) операций. Это решение быстро станет неприемлемым по времени даже для средних размеров входных данных.↵
↵
В отличие от этого, сегментное дерево позволяет обновлять целые диапазоны за ↵
O(log n) благодаря ленивой пропагации. Таким образом, даже если событий много, общая сложность становится ↵
O(n*log n).↵
↵
## Подводные камни и советы↵
↵
Сегментное дерево — штука мощная, но при реализации можно допустить несколько типовых ошибок:↵
↵
- Неправильное слияние результатов. Забудете, что нужно суммировать детей, или перепутаете левый/правый и вся логика разрушится. Внимательно определяйте, что хранит узел, и как это получается из информации детей.↵
- Границы отрезков. Легко ошибиться с индексами left, right и middle. Условились, что сегмент [left..right] включительный. Тогда middle = (left+right)/2 – левая часть [left..middle], правая [middle+1..right]. Если забудете +1 где нужно – получите перекрывающиеся или пропущенные индексы. Совет: отладьте на маленьком массиве, например, n=4 и выпишите на бумажке сегменты каждого узла, проверьте, что покрывают массив без пробелов и наложений.↵
- Рекурсия vs итерация. Мы рассмотрели рекурсивное решение для простоты понимания, но при n ~ 10^5 глубина рекурсии ~17 – это ок, а вот если бы n ~ 10^7, глубина ~24, всё ещё ок. При сильно больших n и особенно при большом количестве операций иногда предпочитают итеративные реализации во избежание накладных расходов и риска переполнения стека.↵
- Ленивые обновления. В нашем примере мы как раз их использовали, обновляя сразу целый диапазон. Обратите внимание, что реализация ленивых тегов сложнее — легко напутать с распространением изменений на детей. Если задача требует сегментник с lazy, тестируйте на простых примерах усиленно. Типичные ошибки: забыли запушить лейзи-тег перед дальнейшим спуском или перед подсчётом в узле — получите некорректные данные. Совет: написать отдельную функцию push(v) для распространения тега из узла v на детей, и вызывать где нужно, например перед переходом в поддеревья.↵
- Выбор между Fenwick (BIT) и сегментным деревом. Часто они взаимозаменяемы для простых задач на суммы, порядковую статистику. Fenwick легче кодится и требует ~n,2025-03-19 памяти, но сегментное дерево более универсально, поддерживает сложные операций слияния. Если задача допускает Fenwick и вы не хотите тратить время на реализацию дерева — дерзайте с Fenwick, однако сегментник — must know для Div1-Div2 уровня.↵
↵
Напоследок дам небольшой лайфхак — если задача просто требует многократных запросов суммы на отрезке без обновлений, то и сегментное дерево не нужно, достаточно просто будет заранее посчитать префиксные суммы за O(n) и потом каждый запрос отвечать за O(1).
