Задача 192A - Модные числа

Кратко о решении: перебор

Подробно о решении: Нетрудно заметить, что это числа положительны, следовательно каждое из слагаемых меньше N. То есть всего различных возможных слагаемых порядка . Это значит то, что мы взять и одно из слагаемых перебрать. Тогда нам нужно научиться проверять, является ли какое-то число треугольным. Заметим, что если мы заранее выпишем все слагаемые в порядке увеличения то мы сможем с помощью бинарного поиска в массиве искать наше число. Это даем там решение за . Если перебирать первое слагаемое в порядке увеличения, то можно использовать два указателя, что дает нам решение за .

Задача 192B - Прогулки под дождем

Кратко о решении: динамика.

Подробно о решении: динамика d[i] — количество дней, в течении которых плитка номер i доступна. Пересчет: d[i] = min(a[i], max(d[i - 1], d[i - 2]))

Асимптотика решения: O(N)

Задача 191A - Династические головоломки

Кратко о решении: динамика

Подробно о решении: динамика d[i][j], i — первый символ в имени династии, j — последний текущий символ. d[i][j] — максимальная текущая длина. Переход: для слова с первой буквой l, последней буквой r и длиной s для всех возможных первых букв i состояние d[i][r] может быть улучшено значением d[i][l] + s.

Ответом будет являться максимальное значение d[i][i] для всех i.

Асимптотика решения: O(N * alpha), где alpha — это размер алфавита.

Задача 191B - Митинг

Кратко о решении: конструктив

Подробно о решении: заметим, что на последнюю площадь никогда не выгодно подавать заявку (денег мэрии не потратим, ничего не изменится, мы просто потеряем ход). Переберем площадь, на которой мы хотим провести митинг. У нас есть k - 1 ход на то, чтобы потратить деньги мэрии (один ход нам нужен на подачу заявки на искомую площадь). Тратить деньги выгоднее всего на самых дорогих площадях, за исключением последней. Осталось научиться быстро выбирать k - 1 максимум из всего массива, за исключением данного элемента. Для этого сначала отсортируем массив и получим k максимумов (последнюю площадь мы не должны рассматривать). Проверяем, лежит ли наше текущее значение в k - 1 максимальных (бинпоиск и не только). Если лежит, то искомые k - 1 максимумов — это максимальные k элементов без нашего. Если не лежит, то это просто максимальные k элементов.

Теперь когда мы понимаем, сколько денег мэрии мы можем потратить, то тратим их и смотрим, остаются ли еще у мэрии деньги на проведение события на нашей текущей площади

Асимптотика решения:

Задача 191C - Дураки и дороги

Кратко о решении: lca

Подробно о решении: Разобьем каждый путь на два, строго идущих вверх к наименьшему общему предку. Теперь у нас есть только "вертикальные пути". Для каждой вершины насчитаем такую величину: количество вертикальных путей, начинающихся в ней минус количество вертикальных путей в ней заканчивающихся. Если мы насчитали эту величину, то ответ для ребра — это сумма значений в его поддереве. Насчитать такую величину довольно просто: берем для каждой пары дураков считаем lca этой пары. В города дураков прибавляем единичку, в lca значение уменьшаем на два.

Асимптотика решения:

Задача 191D - Схема метро

Кратко о решении: снова динамика

Подробно о решении: динамика d[v][rest][cycle] — количество линий, которое требуется для того, чтобы в поддереве вершины v все покрасить, в v остаются rest незамкнутым, cycle — правда ли, что нам надо обрабатывать цикл, в котором мы находимся.

Если мы находимся не в вершине цикла, то обрабатываем всех детей, говоря что мы хотим, чтобы в них было по одному незакрытому пути. Пусть у нас есть s сыновей, нам надо взять и замкнуть все лишние линии, а недостающие нагенерить. То есть ответ это , если s > rest, и в противном случае.

Если мы находимся в вершине цикла, то либо мы покрываем этот цикл кольцом и это стоит нам , где u — это вершина на цикле. отличная от v. Другой вариант — покрыть все участки кольца радиальными линиями. Утверждение: это всегда можно оптимально сделать ровно двумя радиальными. Пусть это не так. Тогда рассмотрим некоторую вершину, в которой радиальные линии <<подвешиваются>> к кольцу. От неё по кольцу в разные стороны уходят два тоннеля, принадлежащие этим линиям. Так как различных линий на кольце сейчас не менее трех, то мы можем перенаправить радиальные линии следующим образом: соединить куски вне кольца друг с другом, а кольцо замкнуть. На кольце останется не менее двух кусков, следовательно все линии останутся валидными, а их число не изменится.

Теперь надо выбрать две станции, из поддерева которых будут выходить радиальные ветки, покрывшее кольцо. Стоимость такой станции это d[u][2][0], а обычной — d[u][0][0] (d[v][rest][0] в случае той вершины, которую мы сейчас обрабатываем) . Соответственно, нам надо выбрать две станции с максимальным значением d[u][2][0] - d[u][0][0].

Асимптотика решения: O(N)

Задача 191E - Разгон митингов

Кратко о решении: бинарный поиск по ответу

Подробно о решении: Сделаем бинарный поиск по ответу. Нам надо посчитать количество отрезков, на которых сумма больше нашего некоторого значения. Как мы это будем делать: будем обрабатывать все отрезки в порядке увеличения правых концов. Отрезки с одинаковыми правыми концами будем обрабатывать пачками. Более подробно: мы будем поддерживать некоторую структуру данных в которой будут храниться суммы всех отрезков c фиксированным правым концом.

Для того, чтобы быстро пересчитывать, нам нужно всего добавить в множество некоторый элемент ( 0, если точнее) и добавить ко всем элементам множества некоторое значение (a[i], если быть точнее). Еще нам нужно уметь отвечать на запрос <<количество элементов, больших данного на отрезке>>. Все это умеет быстро реализовывать, например, декартово дерево. Но нам придется дополнительно хранить некоторую величину X, означающую <<надо прибавить к элементу из декартова дерева X, чтобы получить реальное значение>>. Тогда при добавлении элемента a в нашу структуру надо будет положить в декартово дерево величину a - X, а прибавление некоторой величины ко всему множеству реализуется простым изменением X.

То есть у нас есть структура данных, которая умеет все эти операции выполнять за . То есть одна итерация внешнего бинпоиска работает за , следовательно весь алгоритм работает за

Асимптотика решения: