Блог пользователя yarrr

Автор yarrr, 13 лет назад, По-русски

Пацаны, расскажите пожалуйста, я баян придумал или нет?


Задача простая: m запросов, вывести k-ю порядковую статистику массива a[n] на отрезке [l,r]. 
n ≤ 105, m ≤ 105
Сложность: n· log(n) препроцессинг, log2(n) на запрос.

Что делаем:
1) Сортируем массив в виде пар (ai, i), сначала по значению, потом по индексу.
2) Строим n-штук persistent segment tree, где на i-м шаге добавляем в дерево отрезков индекс элемента, который находится по i-му индексу в отсортированном массиве пар.
3) Бинпоиском находит нижнюю границу i, где в дереве отрезков i sum(l, r) ≥ k.
4) Это и есть наш ответ, выводим число.
  • Проголосовать: нравится
  • +16
  • Проголосовать: не нравится

13 лет назад, # |
Rev. 3   Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

K-ю порядковую статистику на отрезке за O(log^2(n)) на запрос можно считать неперсистентным деревом отрезков. А при помощи персистентного можно досчить асимптотики O(log(n)) на запрос
  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    А как второе делать, расскажите пожалуйста.
    • 13 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится +26 Проголосовать: не нравится
      Представим, что на плоскости отмечены точки с координатами (i, a[i]). Тогда ответом на запрос будет k-я по высоте точка в вертикальной полосе, края которой соответствуют границам запроса. 

      Сожмём координаты и построим персистентное дерево отрезков на сумме, добавляя в позицию trans(a[i]) единицу, где trans(a) - значение а в сжатых координатах (должно получиться такое дерево, что итоговая версия будет возвращать кол-во элементов, значения которых после сжатия лежат в диапазоне от l до r). Теперь, за логарифм спускаясь из корня соответствующей версии дерева, мы умеем отвечать на запрос о k-й порядковой статистике на префиксе массива. Так как деревья отрезков для разных префиксов изоморфны, то дерево для вертикальной полосы, соответствующей отрезку запроса [L; R], можно получить, вычитая из значения в каждой вершине дерева версии R значение в соответствующей вершине версии L-1. Так как нам интересны значения только в O(log(n)) вершинах этого дерева, то не станем строить его явно, а просто будем спускаться по обеим версиям и получать нужные значения в несуществующем дереве для полосы от L до R.

      P.S. Кривое вышло объяснение, но без листочка, на котором можно что-нибудь схематично изобразить, лучше не могу.
      • 13 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
        Кто-нить знает, кто придумал такое решение впервые??? Было бы очень интересно узнать...
        • 13 лет назад, # ^ |
            Проголосовать: нравится -6 Проголосовать: не нравится
          Андрей Сергеевич (andrewzta) сказал, что ему это рассказал Сережа Копелиович на петрозаводских сборах.
13 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
Northern Subregion 2004. Problem K.
http://neerc.ifmo.ru/subregions/northern.html
  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    Ну там O(nm) проходит, я на этих тестах как раз правильность проверял.
    • 13 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
      В 2004-ом не проходило )
      По ссылке еще можно посмотреть решения жюри и участников.
13 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
Можно за делать, строя дерево отрезков, в каждой вершине которого - отсорченный подмассив. Занимает памяти, такая задача есть и на spoj.pl.
В обсужениях этой задачи Robert Gerbitz говорил, что умеет решать за с препроцессом .
  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    Если отсортированный подмассив в вершине получать из массивов в двух сыновьях при помощи Merge() из MergeSort'а, то препроцессинг O(N * logN) получается, как я понимаю.
    • 13 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
      Да, это опечатка была, имелось в виду за отвечать на запросы, препроцесс  - как Вы и сказали.
13 лет назад, # |
Rev. 5   Проголосовать: нравится -9 Проголосовать: не нравится

эту задачу можно решать с помощью декартова дерева по неявному ключу, сложность: NlogN построение, и logN запрос

P.S. кст, с помощью декартова дерева, можно эту задачу даже on-line решать

P.S.S. нельзя, я ошибся, вернее все, что я написал выше-неверно
  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    Хм.. два вопроса. 
    1) как
    2) а почему построение не за линию?
    • 13 лет назад, # ^ |
      Rev. 2   Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      1) ну поступает запрос на отрезке [L;R], сплитим по L, по R, получаем три дерева: первое содержит элементы [1..L-1], второе [L;R], третье [L + 1;R], теперь второе сплитим по К, берем самую правую вершину, отвечаем на запрос и merg'им деревья

      2) ну за линию тоже можно, просто я пишу  за NlogN, за линию ни разу не писал

      P.S. забудьте, я накосил

      • 13 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится +7 Проголосовать: не нравится
        Если вы умеете писать дерево которое можно сплитить и по значению и по индексу, и при этом оно работает за log, то я в это не верю. Во всяком случае это некоторое yahooo-дерево, а не декартово. Хотя я могу и ошибаться.
        • 13 лет назад, # ^ |
            Проголосовать: нравится -6 Проголосовать: не нравится
          нет, я просто как-то головой не подумал, перед тем, как писать это
13 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
Ну тогда уж до кучи это решается корневой с линией памяти и времени (я видимо умею еще и за аккуратным разбиением кусков. И мне кажется что это будет быстрее log^2 и log^3, за персистентный log не уверен. наверное какая-то оптимизация этого.
13 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
Я может туплю... А почему нам не отсортировать массив и за 1 время говорить l+k-ю статистику (просто взяв значение A[l+k])?
  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    тупишь. на l,r могли быть самые мелкие числа. а могли быть самые большие к примеру. Места при сорте не сохраняются(привт, капитан)
  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    Элементы: 4 1 2 3
    Запрос: l = 2, r = 4, k = 1.
13 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
Вообще, эта задача была этим летом на сборах в Петрозаводске в контесте команды Тавриды. При этом, были следующие ограничения: N<=450000, количество запросов <= 600000, TL 4 секунды. Вроде как ничего, кроме персистентного дерева с ответом за logN на запрос, не проходило. Авторское решение совпадает с решением из поста Malinovsky239.
13 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
Можно же решать обычным двумерный деревом интервалов с fractional cascading, будет O(nlogn) памяти и O(logn) ответом на запрос (и думать особо не надо).
13 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

offtop:

скажите, как решать задачу "найти количество различных чисел на отрезке"?

  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +5 Проголосовать: не нравится

    Знаю как в оффлайне. Отсортируем запросы по правому концу. Теперь если мы можем быстро решить задачу для какого-то префикса массива, то можно решить и исходную.

    Будем двигаться от первого префикса(1..1) до N-ого(1..N). И в каком-нибудь дереве у нас единичками будут помечены лишь те элементы у которых справа нет такого-же. Ex.:

    Prefix: 1 6 3 1 2 5 5 1

    Signs:  0 1 1 0 1 0 1 1

    Понятно что при переходе от префикса i к (i+1) убирается максимум одна пометка и добавляется одна.

    Теперь чтобы решить запрос (l, r), дойдем до префикса r и найдем сумму от l до r в дереве. Сумма и есть ответ.

    Если двигаться указателями то суммарная ассимптотика примерно: O(NlogN + MlogM)

    • 13 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится +4 Проголосовать: не нравится
      Прибавляем персистенстность и получаем онлайн ответы на запросы. Задача I с ВКОШП-2010 на это была.
    • 10 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      А как решать если нужно сделать UPDATE(x,k) то есть a[x]=k ????

      • 4 года назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится -8 Проголосовать: не нравится

        можно решать с помощью merge sort tree с pbds на каждой вершине

    • 6 месяцев назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится +1 Проголосовать: не нравится

      Да это реально круто

  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +5 Проголосовать: не нравится
    Задача на SPOJ 
  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    А почему бы не воспользоваться деревом отрезков... В каждом узле будем хранить сет с числами... А затем просто объединять сеты, а ответом будет кол-во элементов в сете... Или вместо сета хранить отсортированный массив различных чисел, а при подъеме объединять, но не добавлять повторения...