Блог пользователя ilyaraz

задача по планиметрии
Автор ilyaraz, 11 лет назад, По-русски

Дан выпуклый четырехугольник со сторонами a, b, c, d (a >= b >= c >= d, стороны могут идти в любом порядке). Доказать, что a + b + d не меньше суммы длин диагоналей.

  • Проголосовать: нравится
  • +38
  • Проголосовать: не нравится

»
11 лет назад, # |
← Rev. 2   Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

deleted

→ Ответить
»
11 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится -26 Проголосовать: не нравится

a + b + d, не a + b + c + d, я правильно понял?

→ Ответить
  • »
    »
    11 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +19 Проголосовать: не нравится

    Да, именно так. Иначе задача абсолютно стандартная.

    → Ответить
»
11 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится +21 Проголосовать: не нравится

Какая-то адовая задача; а с ходу даже не вызывает подозрений... В тред срочно призываются специалисты по олимпиадной планиметрии.

→ Ответить
  • »
    »
    11 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

    Забавно, что это понадобилось по науке моему соседу по офису.

    → Ответить
»
11 лет назад, # |
← Rev. 3   Проголосовать: нравится -33 Проголосовать: не нравится

Пусть d1 и d2 — диагонали.
a+b+d>d1+d2
a+b+c+d>d1+d2
Отнимем от нижней неравности верхнюю и получим c>0, т.е. неравность правильная.
Бред написал — неравности отнимать нельзя.

→ Ответить
  • »
    »
    11 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    Ваша логика: доказываем, что -1 > 0. Есть верное утверждение, что 1 > 0, вычтем из него "-1 > 0", получим "2 > 0", что верно, "значит", -1 > 0. Или вы так просто троллите? )

    → Ответить
    • »
      »
      »
      11 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится -16 Проголосовать: не нравится

      Затупил немного. Подумал, что неравности, как и уравнения, можно отнимать, а потом вспомнил, что так нельзя.

      → Ответить
      • »
        »
        »
        »
        11 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится +13 Проголосовать: не нравится

        Даже если можно было, вы из истинности "A -> B" и "B" делаете вывод об истинности "A", что грубая логическая ошибка. Как всем известно, из лжи следует истина ;)

        → Ответить
»
11 лет назад, # |
← Rev. 2   Проголосовать: нравится +19 Проголосовать: не нравится

Что a+b+d больше доказать не могу (но можно проверить при помощи монте-карло), могу доказать что a+b+c больше суммы двух диагоналей.

Исходя из формулы Эйлера a^2+b^2+c^2+d^2 >= e^2+f^2 Для любых положительных e и f (e+f)^2/2 <= e^2+f^2 Докажем что (a+b+c)^2/2 > a^2+b^2+c^2+d^2 Сделаем замену a = b+k, где k >= 0 и k < c+d, так как сторона в четырехугольник меньше суммы трех остальных. (k+2b+c)^2 > 2((b+k)^2+b^2+c^2+d^2) k^2+4b^2+c^2+4kb+4bc+2kc-2b^2-2k^2-4bk-2b^2-2c^2-2d^2 > 0 4bc+2kc-c^2-2d^2-k^2 > 0 4bc-(k-c)^2-2d^2 > 0 так как b >=c >= d >= 0, и к<(c+d), то bc >= d^2 и bc >= (k-c)^2, то есть левая часть строго положительна. Доказали что (a+b+c)^2/2 > (e+f)^2/2

e и f — диагонали четырехугольника.

→ Ответить