По индукции.

База n=0.

Для перехода раскладываем выражение как сумму кубов и доказываем, что вторая скобка делится на 3, но не делится на 9 для всех n.

Докажем по индукции. База 2^3 + 1 делится на 3^2, но не делится на 3^3. Переход 2^3^n + 1 делится на 3^(n+1), но не делится на 3^(n+2) 2^3^(n+1) + 1 = (2^3^n + 1)^3 — 3*(2^3^n + 1) — 3*(2^3^n + 1)^2 + 6*(2^3+1) = (2^3^n + 1)^3 + 3*(2^3^n + 1) — 3*(2^3^n + 1)^2 По предположению индукции получаем три слагаемых, которые делятся на 3^(n+2). Причём два из них делятся на 3^(n+3), а третье -- нет. Значит и сумма (2^3^(n+1)) делиться на 3^(n+3) не будет

1) Докажем что делится на 3^(n+1) для 1 это верно , пусть 2^3^n + 1 делится на 3^(n+1), докажем, что и 2^3^(n+1) + 1 делится на 3^(n+2) 2^3^(n+1)+1=(2^3^n)*(2^3^n)(2^3^n+1)-(2^3^n)*(2^3^n)+1 = (2^3^n)*(2^3^n)(2^3^n+1) — (2^3^n)(2^3^n+1) + (2^3^n+1). Потом за скобки общий множитель и должно получиться

x(n) = 2³ⁿ + 1

для n=1 всё верно, индукция для больших n:

x(n + 1) = (x(n) - 1)³ + 1 = x(n)³ - 3x(n)² + 3x(n)

1) все три слагаемых делятся на 3^n + 2, а значит и всё делится.

2) первое и второе слагаемые делятся на 3^n + 3, а третье нет, так как если бы делилось, то было бы противоречие (x(n) делилось бы на 3^n + 2), а значит x(n + 1) тоже не делится.

Укажите пожалуйста источник задачи. Спасибо.