Блог пользователя -synx-

Does Fermat's Little Theorem hold for Matrices?
Автор -synx-, история, 7 лет назад, По-английски

Can we find matrix modular inverse as
?
Related question/answer

  • Проголосовать: нравится
  • +11
  • Проголосовать: не нравится

»
7 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

clearly no?

A= 2*I where I is the identity

P = 5

A^3 = (2*I)^3 = 8*I, while A^-1 = (0.5*I).

→ Ответить
  • »
    »
    7 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

    . For scalar matrices it's true: it's just a usual Fermat's Little Theorem.

    → Ответить
    • »
      »
      »
      7 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      right, sorry my bad for giving such a poor example as i wanted to ease calculation.

      → Ответить
    • »
      »
      »
      7 лет назад, # ^ |
      ← Rev. 2   Проголосовать: нравится +11 Проголосовать: не нравится

      For diagonal matrices it's also true. For diagonalisable invertible matrices, it looks OK, surprisingly. For matrices not diagonalisable, it is in general false. See e.g. 

      [1, 1]
[0, 1]

      To the power a it is

      [1, a]
[0, 1]

      therefore the inverse is given for the power a=p-1 and not p-2 (yeah it's close, but...)

      → Ответить
»
7 лет назад, # |
← Rev. 2   Проголосовать: нравится +9 Проголосовать: не нравится

For arbitrary matrices it's false. For example, . Mp - 1 = 2(p - 1) / 2E. If 2 isn't a square modulo p, Mp - 1 ≠ E.

Also you can use Lagrange's theorem for group. The order of this group is (pn - 1)(pn - p)... (pn - pn - 1). For n = 2 we get A(p2 - 1)(p2 - p) = E. Doesn't look like the best estimation, though.

→ Ответить
»
7 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

The fact that the right hand side always exists and the left hand side doesn't have to exist hints that it shouldn't be so.

Look up the Jordan form. Not only does it tell you when it's possible to use FLT, it basically gives you a formula for matrix powers (in , not ). Of course, computing the Jordan form is itself difficult and you're better off just using fast exponentiation.

→ Ответить