Пусть у нас есть связный неориентированный граф без петель и кратных ребер, в котором n вершин и m ребер. Докажите, что в нем найдется C·n2 / m вершин, которые попарно не соединены ребрами, где C — какая-то абсолютная константа.
→ Обратите внимание
→ Лидеры (рейтинг)
| № | Пользователь | Рейтинг |
|---|---|---|
| 1 | Benq | 3676 |
| 2 | Kevin114514 | 3659 |
| 3 | jiangly | 3640 |
| 4 | turmax | 3450 |
| 5 | tourist | 3408 |
| 6 | strapple | 3360 |
| 7 | Um_nik | 3354 |
| 8 | squareOf105 | 3348 |
| 9 | maroonrk | 3312 |
| 10 | idontwannadothis…e | 3191 |
| Страны | Города | Организации | Всё → |
→ Лидеры (вклад)
| № | Пользователь | Вклад |
|---|---|---|
| 1 | Qingyu | 154 |
| 2 | nik_exists | 151 |
| 3 | maspy | 149 |
| 4 | AmShZ | 146 |
| 5 | Um_nik | 143 |
| 6 | Errichto | 139 |
| 7 | BledDest | 136 |
| 8 | adamant | 135 |
| 9 | maroonrk | 133 |
| 10 | cry | 130 |
→ Найти пользователя
→ Прямой эфир
Codeforces (c) Copyright 2010-2026 Михаил Мирзаянов
Соревнования по программированию 2.0
Время на сервере: 11.11.2026 00:03:10 (g2).
Десктопная версия, переключиться на мобильную.
При поддержке
Я правильно понимаю, что задача эквивалентна следующей: найдите минимально возможный размер клики в графе с n вершинами и n2 - m рёбрами?
Да, независимые множества и клики дополняют друг друга.
Рассмотрим произвольную вершину. Если степень
, убьём её; n2 / m изменится на что то, большее (n - 1)2 / (m - 2m / n) = (n2(1 - 2 / n + 1 / n2) / (m(1 - 2 / n)) ≥ n2 / m. Продолжим решать задачу для полученного графа.
Теперь пусть степень
. Тогда выкинем эту вершину и все с ней смежные, решим задачу для оставшегося, добавим к ответу вершину. Чему же будет равно отношение n2 / m для оставшегося графа? Понятно, что оно не меньше (n - 2m / n)2 / m = n2 / m - 4 + 4m / n2. Т.е. мы уменьшили отношение на 4 ценой увеличения ответа на 1, значит, этот алгоритм решает задачу с C = 1 / 4.
а откуда задача?
Мне ее дали в качестве домашнего задания, я не смог справиться и вот теперь спрашиваю уважаемое сообщество.
А если серьезно, то сложно сказать, откуда она изначально. На ней удобно демонстрировать вероятностный метод. Вот что имеется ввиду.
Пусть мы хотим выбирать наше независимое множество случайно. Будем включать каждую вершину в него независимо с вероятностью p. Тогда в среднем останется pn вершин и p2m ребер. Но давайте теперь у каждого оставшегося ребра выкинем по концу. Тогда в среднем останется независимое множество размера pn - p2m. Теперь, выбирая p оптимально, получаем требуемую оценку с C = 1 / 4.
Похожей техникой можно доказать, что если
, то, как бы мы не укладывали граф на плоскость, получится не менее C·m3 / n2 пересечений ребер. Подробнее см. здесь.
А почему в минусах? Может парню интересно, где еще найти таких задач
Люди такие непредсказуемые...
ошибся