Блог пользователя ilyaraz

Простая задача 2
Автор ilyaraz, 15 лет назад, По-русски 
Простая задача, которая проверяет знание матана 1 курса.

Пусть  -- достаточно гладкая функция, которая определена на отрезке от 0 до 3.
Известно, что .
Докажите, что .
  • Проголосовать: нравится
  • 0
  • Проголосовать: не нравится

15 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится +4 Проголосовать: не нравится

Разложим функцию в ряд Фурье на [0..3], учитывая, что f(0) = f(3) = 0 и воспользуемся равенством Парсеваля

т.к , то получаем, что 

→ Ответить
  • 15 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +4 Проголосовать: не нравится
    → Ответить
    • 15 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится +4 Проголосовать: не нравится
      Так она безусловно делается и это самое естественное решение, но есть и чисто олимпиадное.
      → Ответить
  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    Но вообще интересно, а что, правда где-то проходят на первом курсе ряд Фурье?
    → Ответить
    • 13 лет назад, # ^ |
      ← Rev. 3   Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

      В СУНЦ МГУ проходят в 10 классе.
      Так что где-то, наверное, и на 1 курсе проходят.
      Я буду перечитывать, на что я отвечаю.
      Я буду перечитывать, на что я отвечаю.
      Я буду перечитывать, на что я отвечаю.

      → Ответить
      • 13 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится +5 Проголосовать: не нравится
        Лол, что?
        С каких это пор в СУНЦе фурье в 10 классе проходят?
        У нас только на физпраке упоминали, и то просто так=)
        И у нас на 1 курсе не было еще рядов Фурье=(
        → Ответить
    • 13 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
      Её можно и без Фурье решить.
      → Ответить
      • 13 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
        Спасибо, я понял, я умею читать :) Просто Вы сказали про первый курс, а Vasya.V тут же про Фурье, вот я и удивился.
        → Ответить
    • 13 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится +8 Проголосовать: не нравится
      У нас ряды Фурье проходят на втором курсе (матан третьего семестра), но тогда они внушают лишь омерзение. А вот проникся я техникой Фурье лишь на третьем курсе в рамках функционального анализа и УРЧПов.
      → Ответить
    • 13 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
      Ряды Фурье на первом курсе проходят в ВШОПФ ННГУ, например.
      → Ответить
15 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
Если б я знал что эти значки значат ^^ Как я помню это итеграл O_O.. А так неравенство, может метод монтекарло (кидать точки), или Градиент? =) Трихотомия? Что нибудь да подойдёт ^^
→ Ответить
  • 15 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +4 Проголосовать: не нравится
    Вы должны доказать утверждения для произвольной функции, а не проверить для конкретной. Вы же предлагаете написать программу, насколько я понимаю.
    → Ответить
15 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
А разве вы не предлагали её решить чисто программно по програмистки ^^ вот я и предложил! да и вообще я не знаю что эти значки значят ^^
→ Ответить
15 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

Возьмем функцию, удовлетворяющуюю нашему условию - f(x)=x*(x-3)

Найдем производную f'(x)=2x-3.

Далее, перенесем левый интеграл вправо и возьмем обе функции под один интеграл. Далее, возведем обе функции в квадрат, приведем подобные и получим:

0<=Интеграл(-x^4+6x^3-5x^2-12x+9)dx.

Взяв интеграл от 0 до 3, получил положительное число 18,9. Значит равенство верно. 

Мы можем взять любые функции, то т.к. мы их возводим в квадрат, то их значения всегда будут положительными, следовательно мы всегда получим, что интеграл разности квадратов этих функций будет положителен.

→ Ответить
  • 15 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    Вы нигде не используете, что дело происходит именно на отрезке [0, 3]. Скажем, если бы все происходило на отрезке [0, 4], то утверждение было бы тупо неверно.

    Следовательно, у вас ошибка.
    → Ответить
    • 15 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

      Надо как-то использовать такую штуку, что интеграл от f '(x) от 0 до 3 равен нулю. Может как-то по частям разложить данные интегралы? Что-то обнулится и мы получим, что площадь некоторой функции больше нуля. Только нужно преобразовать.

      Это правильное начало?

      → Ответить
      • 15 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
        Ну как-то так делать можно. Но там есть один хитрый трюк.
        → Ответить
15 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

А изменится ли что-то, если число 0 заменить числом a, а число 3, заменить числом b в пределах интегрирования и указать, что f(a)=f(b)=0. И все оставить как прежде.

Или это важно, что в условии именно числа 0 и 3?

→ Ответить
  • 15 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    Важно, что b - a = 3.
    → Ответить
    • 13 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
      Так, а почему важно?
      Изменение b-a характеризует всего лишь сжатие или расширение этого отрезка. Определенный интеграл - площадь под графиком функции, которая при сжатии или расширении фигуры просто пропорционально уменьшается или увеличивается. Так что неравенство не изменится.
      Где ошибка?
      → Ответить
      • 13 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится
        Возьмите и отрезок [0, 4].
        → Ответить
        • 13 лет назад, # ^ |
          ← Rev. 2   Проголосовать: нравится +5 Проголосовать: не нравится

          И что?
          Во-первых, пример некорректный, т.к. sin(4) != 0
          Во-вторых? неравенство верно: <формул больше нет>
          → Ответить
          • 13 лет назад, # ^ |
              Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
            Извините, ошибся.
            → Ответить
            • 13 лет назад, # ^ |
                Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
              Да, так верно. вообще понятно было, что там суть в числе π, но природа этого явления совершенно мне не ясна. Почему так происходит?
              → Ответить
              • 13 лет назад, # ^ |
                  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
                Да, это неравенство красивое и удивительное. :)
                → Ответить
      • 13 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
        Производная изменится
        → Ответить
13 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
ilyaraz, Можно решение увидеть?)
→ Ответить
  • 13 лет назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
    Вообще, оно есть в комментариях, но я вам отправил еще и в личку.
    → Ответить
    • 13 лет назад, # ^ |
        Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
      Просто вы написали, что есть олимпиадное и очевидное решение. 
      Как я понял опубликовали очевидное.))
      → Ответить
      • 13 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
        Да, именно так. Сейчас поищу ссылку на "олимпиадное".
        → Ответить
      • 13 лет назад, # ^ |
          Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится
        Пожалуйста, вот вам олимпиадное решение. http://petr-mitrichev.blogspot.com/2008/10/solutions-for-previous-problems.html
        → Ответить
        • 13 лет назад, # ^ |
            Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится
          Да уж) Решение в стиле "возьмем вот такую функцию (на всю строчку) и все получится" :) Но красиво, да. Интересно, можно вообще научиться додумываться до решений, подобных этому (именно по матанализу) ?
          → Ответить
          • 13 лет назад, # ^ |
              Проголосовать: нравится +11 Проголосовать: не нравится
            очевидно, что функция это просто экстремаль, ее можно найти записав уравнение Эйлера и решив несложный дифур. Забавно, что в таких задачах часто приходится искать решение в классе гладких функций (n + 1 с краями), а потом доказывать его оптимальность "руками" в классе менее гладких
            → Ответить
            • 13 лет назад, # ^ |
              ← Rev. 2   Проголосовать: нравится +3 Проголосовать: не нравится

              Добавлю, что как-то раз на vjimc умудрились дать похожую задачу, это был фэйл, т.к. автор думал, что это очень сложно угадать "правильную" функцию)

              фурье там не проходил из-за недостаточной гладкости
              → Ответить
            • 13 лет назад, # ^ |
                Проголосовать: нравится +5 Проголосовать: не нравится
              Ясно) Надо будет через несколько лет прочитать этот комментарий еще раз)
              → Ответить
13 лет назад, # |
  Проголосовать: нравится +5 Проголосовать: не нравится
Заметьте, что тема была открыта год назад. А сейчас пойдут новые комменты...
→ Ответить