Достаточно даже решения, например, за $$$O(n^2 \cdot m^2)$$$

Можно явным образом поменять каждый элемент матрицы $$$a$$$ на противоположный и для каждой замены решить задачу о черепашке. Замен будет $$$n \cdot m$$$, одна черепашка решается за $$$O(n \cdot m)$$$, итого решение за $$$O(n^2 \cdot m^2)$$$

Если в задаче о черепашке мы ищем путь с максимальной наградой, логично задуматься, награды каких путей меняются, а каких нет?

Если мы изменим значение в клетке $$$(i, j)$$$, то изменятся только награды тех путей, которые проходят через клетку $$$(i, j)$$$. Также несложно понять, что награда каждого такого пути уменьшится на $$$2 \cdot {a_i}_j$$$ по сравнению с изначальной задачей

Теперь мы поняли, что нам достаточно посчитать максимальный по награде путь, проходящий через клетку $$$(i, j)$$$ и максимальный по награде путь, не проходящий через неё. Но, так как такие значения придётся считать для каждой клетки, нужно это делать быстро. Начнём с простого: как посчитать максимальный путь из $$$(0, 0)$$$ в $$$(n - 1, m - 1)$$$, проходящий через $$$(i, j)$$$?

Любой такой путь разбивается на два пути — из $$$(0, 0)$$$ в $$$(i, j)$$$ и из $$$(i, j)$$$ в $$$(n - 1, m - 1)$$$, поэтому нам нужно посчитать максимальный путь из $$$(0, 0)$$$ в $$$(i, j)$$$ и максимальный путь из $$$(i, j)$$$ в $$$(n - 1, m - 1)$$$ по-отдельности, сложить и вычесть $$${a_i}_j$$$ (так как мы учли это значение как награду обоих путей. Нам повезло, что в задаче о черепашке мы считаем максимальную награду пути от $$$(0, 0)$$$ до всех клеток $$$(i, j)$$$ разом! Давайте тогда запустим две черепашки — одну из клетки $$$(0, 0)$$$ и назовём её $$$turtle1$$$. То есть $$${turtle_i}_j$$$ будет максимальной наградой пути из $$$(0, 0)$$$ до $$$(i, j)$$$. Вторую же черепашку запустим из клетки $$$(n - 1, m - 1)$$$ с возможностью ходить только вверх и влево и назовём её $$$turtle2$$$. Таким образом, $$${turtle2_i}_j$$$ будет равно максимальной награде пути из $$$(n - 1, m - 1)$$$ в $$$(i, j)$$$, что равно максимальной награде пути из $$$(i, j)$$$ в $$$(n - 1, m - 1)$$$

Теперь мы можем выразить интересующую нас величину как $$${turtle1_i}_j + {turtle2_i}_j - {a_i}_j$$$

Нам осталось лишь посчитать награду максимального пути, не проходящего через клетку $$$(i, j)$$$. Давайте подумаем, можно ли это значение выразить через длины путей, проходящих через какие-то другие клетки доски?

Оказывается, что можно. Давайте заметим, что путь не может проходить одновременно через клетку $$$(i, j)$$$ и через клетки, которые находятся слева снизу или справа сверху от неё. Такие клетки выделены на рисунке ниже

Тогда нам достаточно посчитать максимальную награду пути, проходящую через одну из таких клеток.

Но этих клеток очень много! Поэтому давайте сократим множество до диагонали? Путь черепашки проходит через ровно одну клетку диагонали, поэтому, если он не проходит через $$$(i, j)$$$, то проходит через одну из остальных клеток!

Это значит, что максимальный путь, не проходящий через $$$(i, j)$$$ — это максимум из максимальных путей, проходящих через другие клетки той же диагонали.

Давайте посчитаем ответ для каждой диагонали отдельно за $$$O(L)$$$, где $$$L$$$ — это длина диагонали. Чтобы понять, как прийти к такому решению, попробуйте выразить ответ для одной клетки диагонали формулой

Как и было сказано, давайте выразим ответ понятной формулой. Пускай $$$(i, j)$$$ — самая нижняя клетка данной диагонали, тогда все клетки диагонали имеют координаты $$$(i - d, j + d)$$$, где $$$0 \leq d \lt L$$$. Обозначим за $$$f_d$$$ награду наибольшего пути, проходящего через $$$(i - d, j + d)$$$. Мы знаем, что $$$f_d = {turtle1_{i-d,}}_{j+d} + {turtle2_{i-d,}}_{j+d} - {a_{i-d,}}_{j+d}$$$. Как было замечено, награда наибольшего пути, не проходящего через $$$(i - d, j + d)$$$ равна $$$\max\limits_{0 \leq t \lt L, t \neq d} f_t$$$, или, что то же самое, $$$max(\max\limits_{0 \leq t \lt d} f_t, \max\limits_{t + 1 \leq t \lt L} f_t)$$$, то есть максимум на префиксе и суффиксе. А для вычисления ответа необходимо также взять максимум полученного значения с максимальным путём, проходящим через клетку $$$(i - d, j + d)$$$, что равно $$$f_d - 2 \cdot {a_{i - d,}}_{j + d}$$$

Имея перед глазами формулу в таком виде, несложно догадаться, что нам достаточно посчитать префиксные и суффиксные максимумы из значений $$$f_d$$$, чтобы посчитать ответ в каждой точке за $$$O(1)$$$.