Представим себе массив из $$$k$$$ элементов. Нужно в нем поставить $$$n-1$$$ перегородку. Это та же самая задача. Если элементы положительные целые числа — то ответ $$${k-1}\choose{n-1}$$$. Для неотрицательных проблема в том, что в одной позиции может быть несколько перегородок. Чтобы адаптировать решение для неотрицательных — каждому возможному массиву в исходной задаче увеличим каждый элемент на единицу. Получатся всевозможные массивы с суммой $$$k+n$$$, длиной $$$n$$$ и положительными слагаемыми.

Если считать разными массивы которые отличаются хотябы в одной позиции то $$$\overline{С}^{n - 1}_{k + 1}$$$ = $$$С^{k}_{k + n - 1}$$$. Обьяснение: можно представить что у нас есть массив $$$A$$$ из $$$k$$$ единиц. Тогда каждый массив длины $$$n$$$ из неотрицательных целых чисел с суммой $$$k$$$ будет представлять собой разбиение массива $$$A$$$ на $$$n$$$ частей. Количество мест в которых можно поделить массив $$$A$$$ будет равно $$$k + 1$$$. Значит число вариантов выбрать $$$n - 1$$$ мест для деления с повторением(так как если выбрать одн место 2 раза это означает что какой-то элемент массива будет нулевой) из $$$k + 1$$$ будет $$$\overline{С}^{n - 1}_{k + 1} = С ^{k} _{k + n - 1}$$$.

https://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatorics)

Stars and Bars

We can solve this problem using combinatorics.

Consider the "stars and bars" method. Imagine you have k stars and n-1 bars. The stars represent the sum, and the bars divide these stars into n parts (each part corresponds to an element of the array).

The total number of ways to arrange the k stars and n-1 bars is the number of ways to choose (n-1) positions for the bars among (k+n-1) total positions.

This is a combinatorial problem and can be solved using the binomial coefficient, often denoted as "n choose k" or C(n, k), which is given by: C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

In this case, we want to calculate C(k+n-1, n-1). The result may be very large, so you might need to calculate it modulo some number (e.g., 10^9 + 7).