RMQ $$$O(n)/O(1)$$$
Для удобства будем считать, что нумерация массива с нуля.
Разобьем наш массив на блоки по $$$\lceil\log_{2}(n)\rceil$$$ чисел. для удобства обозначим $$$bl = \lceil\log_{2}(n)\rceil$$$. В первом блоке числа с $$$a_{0}$$$ до $$$a_{bl - 1}$$$, во втором с $$$a_{bl}$$$ до $$$a_{2 * bl - 1}$$$ и так далее, в последнем блоке может быть меньше $$$bl$$$ чисел.
Таким образом, мы получили $$$\lceil\frac{n}{bl}\rceil$$$ блоков. Научимся находить минимум для отрезки, находящегося целиком внутри блока.
Будем рассматривать блоки независимо, в каждом блоке пойдем слева направо и будем поддерживать стек минимумов. Для каждой граинцы $$$r$$$ запомним стек минимумов с начала блока, в котором находится $$$r$$$, заканчивая $$$r$$$. Будем запоминать стек минимумов, как маску нулей и единиц, в $$$iм$$$ бите будет стоять $$$1$$$, если $$$iе$$$ число в блоке сейчас в стеке минимумов.
Пусть мы теперь хотим найти минимум на отрезке с $$$l$$$ до $$$r$$$, и $$$l$$$ в одном блоке с $$$r$$$. Заметим, что минимум стоит на позиции самого левого единичного бита позже $$$lго$$$(или $$$lй$$$) из стека минимума, который мы запомнили в $$$r$$$. Пусть в $$$r$$$ маска стека минимумов — $$$mask$$$. Тогда нужный нам единичный бит — первый бит в $$$mask » (l - start_{l})$$$, где $$$start_{l}$$$ — начало блока. $$$start_{l} = \lfloor\frac{l}{bl}\rfloor * bl$$$. Всего различных масок $$$2^{bl}$$$ < $$$2 * n$$$, так что с помощью динамического программирования мы можем для каждой маски предподсчитать индекс ее самого левого единичного бита.
Таким образом, мы сделали предподсчет $$$O(n)$$$ и умеем находить минимум на отрезке внутри блока. Теперь надо научиться искать минимум, если $$$l$$$ и $$$r$$$ в разных блоках. Тогда нужный нам минимум — это $$$min(getmin(l, end_{l}), getmin(start_{r}, r), getmin(end_{l} + 1, start_{r} - 1))$$$. Первые 2 величины мы умеем искать, так как границы в одном блоке, а третья величины — минимум на подотрезке блоков. Тогда, найдем минимум в каждого блоке и построим sparse table на массиве из этих минимумов. Предподсчет sparse table $$$O(\lceil\frac{n}{bl}\rceil * log_{2}(\lceil\frac{n}{bl}\rceil))$$$, то есть $$$O(n)$$$.
Мы научились за $$$O(n)$$$ предподсчета искать минимум на отрезке за $$$O(1)$$$.
При $$$n = 10^6$$$ моя реализация этого алгоритма работает столько же, сколько дерево отрезков снизу, но, скорее всего, можно реализовать лучше.
