На прошедшем IZhO по математике дали необычные задачи, многие из которых затроллили большинство участников. P2 решалась трюком, многие не справились. Я тоже не справился, во время тура действовал слишком технично, не помогло. Мое приближение было попыткой зажать искомое число между заданными, что является более сильным утверждением (но как оказалось эквивалентным), которое я смог доказать после тура.
Условие.
Пусть $$$n$$$ — положительное целое число, для которого существуют положительные целые $$$a$$$ и $$$b$$$, такие что
$$$ \lfloor a\sqrt{10} \rfloor = n = \lfloor b\sqrt{11} \rfloor. $$$Доказать, что существует положительное целое число $$$c$$$, для которого
$$$ n = \left\lfloor c(11\sqrt{10} - 10\sqrt{11}) \right\rfloor. $$$
Официальное решение
Обозначим
$$$ \alpha = \sqrt{10}, \quad \beta = \sqrt{11}, \quad \gamma = 11\sqrt{10} - 10\sqrt{11}. $$$ $$$ \gamma = \frac{\sqrt{110}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}. $$$ $$$ n \le a\alpha \lt n+1, $$$ $$$ n \le b\beta \lt n+1 $$$ $$$ \frac{a}{n+1} \lt \frac{1}{\alpha} \le \frac{a}{n}, $$$ $$$ \frac{b}{n+1} \lt \frac{1}{\beta} \le \frac{b}{n}. $$$Складывая, имеем
$$$ \frac{a+b}{n+1} \lt \gamma \le \frac{a+b}{n}. $$$ $$$ n \le (a+b)\gamma \lt n+1, $$$откуда
$$$ n = \left\lfloor (a+b)(11\sqrt{10} - 10\sqrt{11}) \right\rfloor. $$$
Мое решение
Идея.
- ищем такие $$$x_c$$$, которые зажаты между $$$a\sqrt{10}$$$ и $$$b\sqrt{11}$$$;
- доказываем, что такое $$$c$$$ существует и единственно;
- показываем, что для остальных $$$c$$$ равенство целых частей невозможно.
Обозначим
$$$ x_c = c(11\sqrt{10} - 10\sqrt{11}) = \frac{c\sqrt{110}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}. $$$
Шаг 1. Условие зажатости
Если
$$$ \min(a\sqrt{10}, b\sqrt{11}) \le x_c \le \max(a\sqrt{10}, b\sqrt{11}), $$$то немедленно следует
$$$ \lfloor x_c \rfloor = n. $$$Это эквивалентно неравенству
$$$ (x_c - a\sqrt{10})(x_c - b\sqrt{11}) \le 0. $$$Вычислим разности:
$$$ x_c - a\sqrt{10} = \frac{(c-a)\sqrt{110} - 10a}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}, $$$ $$$ x_c - b\sqrt{11} = \frac{(c-b)\sqrt{110} - 11b}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}. $$$Так как знаменатель положителен, получаем эквивалентное условие
$$$ (c - a - a\sqrt{10/11})(c - b - b\sqrt{11/10}) \le 0. $$$Следовательно,
$$$ c \in [L, R], $$$где
$$$ L = \min(a + a\sqrt{10/11}; b + b\sqrt{11/10}), $$$ $$$ R = \max(a + a\sqrt{10/11}; b + b\sqrt{11/10}). $$$
Шаг 2. Единственность целого решения
Длина отрезка равна
$$$ R - L = \left(\frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{11}}\right) \left|a\sqrt{10} - b\sqrt{11}\right|. $$$Из условий имеем
$$$ |a\sqrt{10} - b\sqrt{11}| \lt 1, $$$поэтому
$$$ R - L \lt 1. $$$Значит, в $$$[L, R]$$$ может лежать не более одного целого числа.
При этом
$$$ {L, R}:={a + b - \frac{b\sqrt{11} - a\sqrt{10}}{\sqrt{11}},a + b - \frac{a\sqrt{10} - b\sqrt{11}}{\sqrt{10}}}, $$$откуда
$$$ a + b \in [L, R]. $$$Следовательно,
$$$ c = a + b $$$— единственное целое решение, необходимые и достаточные условия проверили.
Шаг 3. Отсутствие других решений
Из неравенства $$$b\sqrt{11} - a\sqrt{10} \lt 1$$$ следует
$$$ b\sqrt{110} - 10a \lt \sqrt{10}. $$$Тогда
$$$ (a+b)\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} - a\sqrt{10} \lt \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}. $$$Следовательно,
$$$ (a+b-1)\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} \lt a\sqrt{10} - 1, $$$то есть
$$$ \left\lfloor x_{a+b-1} \right\rfloor \le n-1. $$$Аналогично,
$$$ \left\lfloor x_{a+b+1} \right\rfloor \ge n+1. $$$Значит, других значений $$$c$$$ не существует.
