На прошедшем IZhO по математике дали необычные задачи, многие из которых затроллили большинство участников.↵
P2 решалась трюком, многие не справились.↵
Я тоже не справился, во время тура действовал слишком технично, не помогло. Мое приближение было попыткой зажать искомое число между заданными, что является более сильным утверждением (но как оказалось эквивалентным), которое я смог доказать после тура.↵
↵
---↵
↵
**Условие.**↵
↵
Пусть $n$ — положительное целое число, для которого существуют положительные целые $a$ и $b$, такие что↵
↵
$$↵
\lfloor a\sqrt{10} \rfloor = n = \lfloor b\sqrt{11} \rfloor.↵
$$↵
↵
Доказать, что существует положительное целое число $c$, для которого↵
↵
$$↵
n = \left\lfloor c(11\sqrt{10} - 10\sqrt{11}) \right\rfloor.↵
$$↵
↵
---↵
↵
**Официальное решение**↵
↵
Обозначим↵
↵
$$↵
\alpha = \sqrt{10}, \quad \beta = \sqrt{11}, \quad↵
\gamma = 11\sqrt{10} - 10\sqrt{11}.↵
$$↵
↵
$$↵
\gamma = \frac{\sqrt{110}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}↵
= \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}.↵
$$↵
↵
$$↵
n \le a\alpha < n+1,↵
$$↵
↵
$$↵
n \le b\beta < n+1↵
$$↵
↵
$$↵
\frac{a}{n+1} < \frac{1}{\alpha} \le \frac{a}{n},↵
$$↵
↵
$$↵
\frac{b}{n+1} < \frac{1}{\beta} \le \frac{b}{n}.↵
$$↵
↵
Складывая, имеем↵
↵
$$↵
\frac{a+b}{n+1} < \gamma \le \frac{a+b}{n}.↵
$$↵
↵
$$↵
n \le (a+b)\gamma < n+1,↵
$$↵
↵
откуда↵
↵
$$↵
n = \left\lfloor (a+b)(11\sqrt{10} - 10\sqrt{11}) \right\rfloor.↵
$$↵
↵
---↵
↵
↵
**Мое решение**↵
↵
**Идея.**↵
↵
1. ищем такие $x_c$, которые зажаты между $a\sqrt{10}$ и $b\sqrt{11}$;↵
2. доказываем, что такое $c$ существует и единственно;↵
3. показываем, что для остальных $c$ равенство целых частей невозможно.↵
↵
Обозначим↵
↵
$$↵
x_c = c(11\sqrt{10} - 10\sqrt{11})↵
= \frac{c\sqrt{110}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}.↵
$$↵
↵
---↵
↵
**Шаг 1. Условие зажатости**↵
↵
Если↵
↵
$$↵
\min(a\sqrt{10}, b\sqrt{11}) \le x_c \le \max(a\sqrt{10}, b\sqrt{11}),↵
$$↵
↵
то немедленно следует↵
↵
$$↵
\lfloor x_c \rfloor = n.↵
$$↵
↵
Это эквивалентно неравенству↵
↵
$$↵
(x_c - a\sqrt{10})(x_c - b\sqrt{11}) \le 0.↵
$$↵
↵
Вычислим разности:↵
↵
$$↵
x_c - a\sqrt{10}↵
= \frac{(c-a)\sqrt{110} - 10a}{\sqrt{10} + \sqrt{11}},↵
$$↵
↵
$$↵
x_c - b\sqrt{11}↵
= \frac{(c-b)\sqrt{110} - 11b}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}.↵
$$↵
↵
Так как знаменатель положителен, получаем эквивалентное условие↵
↵
$$↵
(c - a - a\sqrt{10/11})(c - b - b\sqrt{11/10}) \le 0.↵
$$↵
↵
Следовательно,↵
↵
$$↵
c \in [L, R],↵
$$↵
↵
где↵
↵
$$↵
L = \min(a + a\sqrt{10/11}; b + b\sqrt{11/10}),↵
$$↵
↵
$$↵
R = \max(a + a\sqrt{10/11}; b + b\sqrt{11/10}).↵
$$↵
↵
---↵
↵
**Шаг 2. Единственность целого решения**↵
↵
Длина отрезка равна↵
↵
$$↵
R - L↵
= \left(\frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{11}}\right)↵
\left|a\sqrt{10} - b\sqrt{11}\right|.↵
$$↵
↵
Из условий имеем↵
↵
$$↵
|a\sqrt{10} - b\sqrt{11}| < 1,↵
$$↵
↵
поэтому↵
↵
$$↵
R - L < 1.↵
$$↵
↵
Значит, в $[L, R]$ может лежать не более одного целого числа.↵
↵
При этом↵
↵
$$↵
{L, R}:={a + b - \frac{b\sqrt{11} - a\sqrt{10}}{\sqrt{11}},a + b - \frac{a\sqrt{10} - b\sqrt{11}}{\sqrt{10}}},↵
$$↵
↵
откуда↵
↵
$$↵
a + b \in [L, R].↵
$$↵
↵
Следовательно,↵
↵
$$↵
c = a + b↵
$$↵
↵
— единственное целое решение, необходимые и достаточные условия проверили.↵
↵
---↵
↵
**Шаг 3. Отсутствие других решений**↵
↵
Из неравенства $b\sqrt{11} - a\sqrt{10} < 1$ следует↵
↵
$$↵
b\sqrt{110} - 10a < \sqrt{10}.↵
$$↵
↵
Тогда↵
↵
$$↵
(a+b)\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} - a\sqrt{10}↵
< \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}.↵
$$↵
↵
Следовательно,↵
↵
$$↵
(a+b-1)\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}↵
< a\sqrt{10} - 1,↵
$$↵
↵
то есть↵
↵
$$↵
\left\lfloor x_{a+b-1} \right\rfloor \le n-1.↵
$$↵
↵
Аналогично,↵
↵
$$↵
\left\lfloor x_{a+b+1} \right\rfloor \ge n+1.↵
$$↵
↵
Значит, других значений $c$ не существует.↵
↵
---↵
↵
P2 решалась трюком, многие не справились.↵
Я тоже не справился, во время тура действовал слишком технично, не помогло. Мое приближение было попыткой зажать искомое число между заданными, что является более сильным утверждением (но как оказалось эквивалентным), которое я смог доказать после тура.↵
↵
---↵
↵
**Условие.**↵
↵
Пусть $n$ — положительное целое число, для которого существуют положительные целые $a$ и $b$, такие что↵
↵
$$↵
\lfloor a\sqrt{10} \rfloor = n = \lfloor b\sqrt{11} \rfloor.↵
$$↵
↵
Доказать, что существует положительное целое число $c$, для которого↵
↵
$$↵
n = \left\lfloor c(11\sqrt{10} - 10\sqrt{11}) \right\rfloor.↵
$$↵
↵
---↵
↵
**Официальное решение**↵
↵
Обозначим↵
↵
$$↵
\alpha = \sqrt{10}, \quad \beta = \sqrt{11}, \quad↵
\gamma = 11\sqrt{10} - 10\sqrt{11}.↵
$$↵
↵
$$↵
\gamma = \frac{\sqrt{110}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}↵
= \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}.↵
$$↵
↵
$$↵
n \le a\alpha < n+1,↵
$$↵
↵
$$↵
n \le b\beta < n+1↵
$$↵
↵
$$↵
\frac{a}{n+1} < \frac{1}{\alpha} \le \frac{a}{n},↵
$$↵
↵
$$↵
\frac{b}{n+1} < \frac{1}{\beta} \le \frac{b}{n}.↵
$$↵
↵
Складывая, имеем↵
↵
$$↵
\frac{a+b}{n+1} < \gamma \le \frac{a+b}{n}.↵
$$↵
↵
$$↵
n \le (a+b)\gamma < n+1,↵
$$↵
↵
откуда↵
↵
$$↵
n = \left\lfloor (a+b)(11\sqrt{10} - 10\sqrt{11}) \right\rfloor.↵
$$↵
↵
---↵
↵
↵
**Мое решение**↵
↵
**Идея.**↵
↵
1. ищем такие $x_c$, которые зажаты между $a\sqrt{10}$ и $b\sqrt{11}$;↵
2. доказываем, что такое $c$ существует и единственно;↵
3. показываем, что для остальных $c$ равенство целых частей невозможно.↵
↵
Обозначим↵
↵
$$↵
x_c = c(11\sqrt{10} - 10\sqrt{11})↵
= \frac{c\sqrt{110}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}.↵
$$↵
↵
---↵
↵
**Шаг 1. Условие зажатости**↵
↵
Если↵
↵
$$↵
\min(a\sqrt{10}, b\sqrt{11}) \le x_c \le \max(a\sqrt{10}, b\sqrt{11}),↵
$$↵
↵
то немедленно следует↵
↵
$$↵
\lfloor x_c \rfloor = n.↵
$$↵
↵
Это эквивалентно неравенству↵
↵
$$↵
(x_c - a\sqrt{10})(x_c - b\sqrt{11}) \le 0.↵
$$↵
↵
Вычислим разности:↵
↵
$$↵
x_c - a\sqrt{10}↵
= \frac{(c-a)\sqrt{110} - 10a}{\sqrt{10} + \sqrt{11}},↵
$$↵
↵
$$↵
x_c - b\sqrt{11}↵
= \frac{(c-b)\sqrt{110} - 11b}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}.↵
$$↵
↵
Так как знаменатель положителен, получаем эквивалентное условие↵
↵
$$↵
(c - a - a\sqrt{10/11})(c - b - b\sqrt{11/10}) \le 0.↵
$$↵
↵
Следовательно,↵
↵
$$↵
c \in [L, R],↵
$$↵
↵
где↵
↵
$$↵
L = \min(a + a\sqrt{10/11}; b + b\sqrt{11/10}),↵
$$↵
↵
$$↵
R = \max(a + a\sqrt{10/11}; b + b\sqrt{11/10}).↵
$$↵
↵
---↵
↵
**Шаг 2. Единственность целого решения**↵
↵
Длина отрезка равна↵
↵
$$↵
R - L↵
= \left(\frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{11}}\right)↵
\left|a\sqrt{10} - b\sqrt{11}\right|.↵
$$↵
↵
Из условий имеем↵
↵
$$↵
|a\sqrt{10} - b\sqrt{11}| < 1,↵
$$↵
↵
поэтому↵
↵
$$↵
R - L < 1.↵
$$↵
↵
Значит, в $[L, R]$ может лежать не более одного целого числа.↵
↵
При этом↵
↵
$$↵
{L, R}:={a + b - \frac{b\sqrt{11} - a\sqrt{10}}{\sqrt{11}},a + b - \frac{a\sqrt{10} - b\sqrt{11}}{\sqrt{10}}},↵
$$↵
↵
откуда↵
↵
$$↵
a + b \in [L, R].↵
$$↵
↵
Следовательно,↵
↵
$$↵
c = a + b↵
$$↵
↵
— единственное целое решение, необходимые и достаточные условия проверили.↵
↵
---↵
↵
**Шаг 3. Отсутствие других решений**↵
↵
Из неравенства $b\sqrt{11} - a\sqrt{10} < 1$ следует↵
↵
$$↵
b\sqrt{110} - 10a < \sqrt{10}.↵
$$↵
↵
Тогда↵
↵
$$↵
(a+b)\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} - a\sqrt{10}↵
< \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}.↵
$$↵
↵
Следовательно,↵
↵
$$↵
(a+b-1)\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}↵
< a\sqrt{10} - 1,↵
$$↵
↵
то есть↵
↵
$$↵
\left\lfloor x_{a+b-1} \right\rfloor \le n-1.↵
$$↵
↵
Аналогично,↵
↵
$$↵
\left\lfloor x_{a+b+1} \right\rfloor \ge n+1.↵
$$↵
↵
Значит, других значений $c$ не существует.↵
↵
---↵
↵
