В тетраэдре проведены внешние векторы нормалей ко всем граням. Длина каждого вектора численно равна площади соответствующей грани. Доказать, что сумма векторов равна 0

Закачаем в тетраэдр газ давления p. Тогда сила, с которой газ давит на грань, перпендикулярна грани и пропорциональна ее площади: F = pS. Из условия равновесия, сумма сил равна 0, и тогда сумма наших веркторов тоже равна 0. Это доказательство легко обобщается на произвольный многогранник.

Общеизвестно

Ясно, что прямоугольный треугольник определяется гипотенузой c и углом при вершине α. Тогда, из соображений размерности, его площадь S равна f(α) * c^2, где f(x) — какая-то функция от угла (на самом деле, f(x) = 0.5 * sin(x)). Проведём высоту к гипотенузе, разделив треугольник на два маленьких треугольника с площадями S1 и S2. В обоих треугольниках есть угол α. Суммируя их площади по формуле, сокращаем на f(α) и получаем требуемое равенство.

Внутри остроугольного треугольника ABC отмечена точка P, минимизирующая сумму расстояний PA+PB+PC. Доказать, что стороны треугольника видны из точки P под равными углами.

Скрепим три нити в одной точке (точке P), которая может свободно скользить по плоскости. Сделаем отверстия в вершинах треугольника и пропустим через них нити. Подвесим на нижние концы нитей грузы равной массы. Минимум потенциальной энергии соответствует максимальной суммарной длине вертикальных отрезков нитей, то есть минимальной суммарной длине отрезков PA, PB, PC. Точка P находится в покое, и на неё действуют три одинаковые силы. Тогда из симметрии угол между каждой парой нитей равен 120 градусов.