Предисловие:

Я не утверждаю, что мое решение самое лучшее/простое/оптимальное и на самом деле что оно вообще работает, просто придумал и решил написать сюда. Если у вас есть другое решение, можете предложить его в комментариях. Буду считать что вам знакомы следующие темы: неявное дерево отрезков, массовые операции на дереве отрезков, персистентное дерево отрезков.

Задача:

Дан массив А, из N целых чисел. Дано Q запросов двух типов: (1, L, R) — найти кол-во различных чисел на отрезке, (2, X, D) — заменить число на позиции X числом D. Будем считать что на запросы нельзя отвечать оффлайн. 1 <= A_i, D_i <= 10^9

Решение:

Для начала рассмотрим задачу без обновлений. Будем хранить массив B размера N, где B_i — индекс следующего элемента в массиве A равного A_i, или N+1 если такого не существует. Более формально, B_i = min j: j > i, A_j = A_i, если такой существует или N+1 иначе. Построим на персистентное неявное дерево отрезков, назовем его T, его версии будут храниться в массиве Vers. Пройдемся по массиву для каждого i: 1 <= i <= n добавим B_i в T и сохраним очередную версию в Vers_i. Теперь можно отвечать на запрос количества различных чисел на отрезке. Найдем для каждого значения присутствующего на отрезке A[L:R], последнее его вхождение в отрезок. Очевидно, что количество таких чисел для всех значений на отрезке — количество различных чисел на отрезке. Найти такое значение очень просто, это лишь количество чисел B_i на отрезке [L:R]: B_i > R. Найти такое количество можно воспользовавшись идеей префиксных сумм. Найти ответ для префикса длины R, и вычесть ответ на префиксе длины L-1. На префиксе произвольной длины K, можно посчитать ответ спуском по Vers_K+1.

Добавим запрос обновления элемента по индексу (2, X, D). Сначала поймем как меняется массив B. Помимо B, будем хранить в некотором дереве поиска MP (например std::map) пары (Value, Indices), где Value — значение присутствующее в массиве A, Indices — все индексы i: A_i = Value, в отсортированном порядке, при этом в MP будет сортировка только по Value. Теперь изменение значения в массиве A, равносильно удалению X из MP[A[X]], и вставить X в MP[D]. Рассмотрим операцию удаления из Indices. Пусть X1 — число слева от X в Indices, т.е. максимально меньшее X, X2 — число справа от X, т.е. минимальное большее X.