Searching for a pattern

Revision ru5, by brezhart, 2022-03-09 22:29:17

Задача: дна $$$n$$$ и $$$c$$$, найти кол-во последовательностей $$$A$$$ длины $$$n$$$ для которых выполняется:

  • $$$1\leq a_{i} \leq c$$$
  • $$$\forall i \in {1,2,\ldots,n-1}: a_{i} | a_{i+1} $$$ ($$$a_{i+1}$$$ делится на $$$a_{i}$$$)

(Да, да, задачка с открытки)

Крутой факт:

  • Пусть $$$ANS_{n,c}$$$ ответ для $$$n$$$, $$$c$$$

  • Пусть $$$A_{c} = ANS_{1,c},ANS_{2,c},ANS_{3,c},\ldots$$$

Неожиданно, $$$A_{c}$$$ может быть описан многочленном $$$P_{c}$$$ степени $$$\lfloor{\log_2{c}}\rfloor$$$, то есть $$$P_{c}(X) = ANS_{X,c}$$$

Откуда $$$\log_2$$$ всплывает? Непонятно.

Вообщем-то, Пытаюсь найти закономерность в коэффициентах $$$P_{c}$$$ и у меня не получается. Заметил что (Пусть коэффициент при $$$x^i$$$ это $$$P_{c_{i}}$$$ ) $$$P_{c_{i}} = \frac{F(c,i)}{(\lfloor{\log_2{c}}\rfloor + i)!}$$$ где $$${F(c,i)}$$$ Какая-то странная функция которую я не могу вычислить.

Прикрепил вычисленные коэффициенты для $$$1\leq c \leq 127$$$ и код для их вычисления, вдруг кто-то найдёт закономерность.

коэффициенты
Код для вычисления коээфициентов

Если у кого-то есть информация по теме, буду рад услышать.

Ссылка на задачу с аткодера и на моё решение которое использует факт про многочлен степени $$$\lfloor{\log_2{c}}\rfloor$$$

Tags polynomial, pattern

History

 
 
 
 
Revisions
 
 
  Rev. Lang. By When Δ Comment
en4 English brezhart 2022-03-09 22:29:51 9
ru5 Russian brezhart 2022-03-09 22:29:17 9
ru4 Russian brezhart 2022-03-09 21:17:31 4 Мелкая правка: 'ответ для n, c\n\n- Пуст' -> 'ответ для $n$, $c$\n\n- Пуст'
en3 English brezhart 2022-03-09 21:17:02 10
ru3 Russian brezhart 2022-03-09 21:16:28 6 (опубликовано)
en2 English brezhart 2022-03-09 21:06:30 235 Tiny change: 'determine. I attache' -> 'determine.</br></br> I attache' (published)
ru2 Russian brezhart 2022-03-09 21:02:01 1398 Мелкая правка: 'ность.\n\n<spoil' -> 'ность.\n\n\n<spoil'
en1 English brezhart 2022-03-09 20:50:05 1588 Initial revision for English translation (saved to drafts)
ru1 Russian brezhart 2022-03-09 20:49:17 1588 Первая редакция (сохранено в черновиках)