Логические кванторы — это очень хороший инструмент для создания некоторых утверждений о множестве. В этой задаче мы будем рассматривать множество вещественных чисел. Множество вещественных чисел содержит ноль и отрицательные числа. Есть два вида кванторов: всеобщности ($$$\forall$$$) и существования ($$$\exists$$$). Вы можете прочитать больше про них здесь.

Квантор всеобщности используется, чтобы сказать, что утверждение выполнено для всех вещественных чисел. Например:

• $$$\forall x,x<100$$$ читается как: для всех вещественных чисел $$$x$$$ число $$$x$$$ меньше, чем $$$100$$$. Это утверждение ложно.
• $$$\forall x,x>x-1$$$ читается как: для всех вещественных чисел $$$x$$$ число $$$x$$$ больше, чем $$$x-1$$$. Это утверждение верно.

Квантор существования используется, чтобы сказать, что существует некоторое вещественное число, для которого утверждение выполнено. Например:

• $$$\exists x,x<100$$$ читается как: существует вещественное число $$$x$$$ такое, что $$$x$$$ меньше, чем $$$100$$$. Это утверждение верно.
• $$$\exists x,x>x-1$$$ читается как: существует вещественное число $$$x$$$ такое, что $$$x$$$ больше, чем $$$x-1$$$. Это утверждение верно.

Кроме того, эти кванторы могут быть вложенными. Например:

• $$$\forall x,\exists y,x<y$$$ читается так: для всех вещественных чисел $$$x$$$ существует вещественное число $$$y$$$ такое, что $$$x$$$ меньше, чем $$$y$$$. Это утверждение верно для всех $$$x$$$, потому что существует $$$y=x+1$$$.
• $$$\exists y,\forall x,x<y$$$ читается так: существует вещественное число $$$y$$$ такое, что для всех вещественных чисел $$$x$$$ число $$$x$$$ меньше, чем $$$y$$$. Это утверждение ложно, потому что оно утверждает, что существует максимальное вещественное число: число $$$y$$$ больше, чем любое $$$x$$$.

Обратите внимание, что порядок переменных и кванторов важен для значения и верности утверждения.

Всего есть $$$n$$$ переменных $$$x_1,x_2,\ldots,x_n$$$, и вам дана формула вида $$$$$$ f(x_1,\dots,x_n):=(x_{j_1}<x_{k_1})\land (x_{j_2}<x_{k_2})\land \cdots\land (x_{j_m}<x_{k_m}), $$$$$$

где $$$\land$$$ обозначает логическое И. Это означает, что $$$f(x_1,\ldots, x_n)$$$ истинно, если каждое неравенство $$$x_{j_i}<x_{k_i}$$$ выполнено. Иначе, если хотя бы одно неравенство не выполнено, то $$$f(x_1,\ldots,x_n)$$$ ложно.

Ваша задача — выбрать значения каждого из кванторов $$$Q_1,\ldots,Q_n$$$ либо квантором всеобщности ($$$\forall$$$), либо квантором существования ($$$\exists$$$) так, что утверждение $$$$$$ Q_1 x_1, Q_2 x_2, \ldots, Q_n x_n, f(x_1,\ldots, x_n) $$$$$$

будет верно и количество кванторов всеобщности максимально возможное, или определить, что утверждение ложно для всех возможных выборов кванторов.

Обратите внимание, что порядок переменных, в котором они идут в утверждении фиксирован. Например, если $$$f(x_1,x_2):=(x_1<x_2)$$$, то вам не разрешено сделать переменную $$$x_2$$$ идущей первой, и получить утверждение $$$\forall x_2,\exists x_1, x_1<x_2$$$. Если вы выберете $$$Q_1=\exists$$$ и $$$Q_2=\forall$$$ получившееся утверждение будет однозначно равно $$$\exists x_1,\forall x_2,x_1<x_2$$$.