Алиса и Боб играют в догонялки. Изначально, Алиса находится в точке $$$a$$$, Боб — в точке $$$b$$$. Известно, что $$$a \lt b.$$$ За одну единицу времени Алиса увеличивает свою координату на натуральное число $$$c$$$, а Боб — на $$$d$$$. Алиса, правда, забыла с какой скоростью она двигается, следовательно не знает, чему равен параметр $$$c$$$. Но она точно помнит, что $$$c$$$ — такое, что существует $$$\textbf{целый}$$$ момент времени, когда они могут оказаться в одной точке (то есть, Алиса сможет догнать Боба). Помогите Алисе вспомнить параметр $$$c$$$. В качестве ответа, укажите количество возможных способов назначить параметр $$$c.$$$

Гора представляет собой матрицу $$$n$$$ на $$$m$$$. Строки пронумерованы от $$$1$$$ до $$$n$$$, столбцы — от $$$1$$$ до $$$m$$$. В каждой ячейке находится целое число. Вы хотите спуститься с горы (выйти за пределы матрицы снизу). Вы можете начать с любой ячейки первой строки. Из каждой клетки вы можете попасть в соседние по сторонам клетки (двигаться вверх нельзя). Каждую клетку можно посещать не более одного раза. Красота пути — это сумма всех чисел, клетки которых вы посетили. Ваша задача — посчитать максимальную красоту пути после спуска с горы.

У Васи в школе меняют систему оценивания. Изначально была $$$n$$$-балльная система, сейчас же хотят внедрить $$$m$$$-балльную. Известно, что некоторые оценки и в той, и в другой системах равносильны (например, получить "три" по пятибалльной системе то же самое, что и получить "шесть" в десятибалльной). Вася хочет узнать, сколько существует оценок в $$$m$$$-балльной системе (от $$$1$$$ до $$$m$$$) таких, что им есть аналог в $$$n$$$-балльной системе.

Дана последовательность, где каждый $$$i$$$-ый член последовательности задается формулой $$$F_i = F_{i-1} + i + F_{i-1}$$$. Где "$$$+$$$" — конкатенация (склеивание в буквальном смысле). Например, $$$F_1 = 1$$$, $$$F_2 = 121$$$, $$$F_3 = 1213121$$$. По заданному числу $$$n$$$ посчитаете количество цифр значения $$$F_n$$$. Поскольку ответ может быть большим, вывести его по модулю $$$10^9+7$$$.

Дана строка из строчных букв латинского алфавита. Разрешается сколько угодно раз поменять любую букву этой строки на любую другую букву латинского алфавита. Цель — произвести минимальное количество замен так, чтобы в получившейся строке все подстроки нечетной длины были палиндромами. Палиндром — строка, которая читается одинаково как слева направо, так и справа налево. Подстрока — отрезок подряд идущих символов. Длина подстроки — количество символов в ней.

Даны два натуральных числа — $$$n$$$ и $$$k$$$. Число, состоящее из $$$n$$$ цифр, называется красивым, если в нем нет цифр $$$0$$$, и если рассмотреть все подстроки длины $$$k$$$ в этом числе по порядку слева направо, выписав суммы цифр в каждой из этих подстрок соответственно, то эти суммы должны идти в порядке возрастания. По заданным числам $$$n$$$ и $$$k$$$ определите максимальное красивое число.

У Васи есть три друга. Он хочет раздать им батончики. Известно, что первый друг любит только сникерс, второй — марс, а третий друг — баунти. У Васи в кармане есть сейчас $$$A$$$ сникерсов, $$$B$$$ марсов и $$$C$$$ баунти. Каждому другу он даст лишь те батончики, которые они любят.

Вася жадный, он хочет разделить конфеты так, чтобы первому другу досталось меньше конфет, чем второму, а второму меньше, чем третьему. Каждому другу он хочет дать хотя бы по одному батончику. Конечно, Вася не может дать больше конфет каждого типа, чем у него имеется в кармане. По данным числам $$$A,$$$ $$$B,$$$ $$$C$$$ определите, сколько существует способов угостить друзей.

Игорка закупился новыми дисками операционной системы MACS_MS на рынке. Текущая система на его ноутбуке уже стоит достаточно давно, пора бы поменять её, но Игорка вспомнил, что его ноутбук забрала мама за плохое поведение и теперь он раздосадован — вместо этого он пошел решать задачи на его любимом сайте codeworm.com через телефон.

В голове он воспроизвел уже решения сотни задач, но одна осталась недосягаемой для него: дан массив $$$a$$$ из $$$n$$$ чисел и неотрицательные числа $$$A$$$, $$$B$$$. Нужно посчитать количество пар чисел $$$a_i$$$ и $$$a_j$$$ $$$(i \lt j)$$$ в массиве таких, что $$$A\leq a_i \oplus a_j\leq B$$$. Где $$$\oplus$$$ — операция побитового $$$XOR$$$.

Заур — любитель спорта. Перед поступлением в университет, он захотел записаться на секцию по вольной борьбе, но так как Заур всегда на первое место ставит учебу, он решил параллельно изучать математический анализ. Хоть Заур и силён в математике, он сразу же столкнулся с проблемами — ему сложно представить что-такое бесконечность.

В одном из примеров ему дали последовательность чисел, где каждый член последовательности с номером $$$n$$$ равен $$$\frac{1}{n}$$$ ($$$n$$$ — натуральное). Заур захотел решить такую задачу: дан интервал $$$[A, B]$$$ (обе границы включены) и число $$$N$$$. По этим заданным числам нужно найти количество чисел среди первых $$$N$$$ членов последовательности, которые лежат внутри или на границе этого интервала. Заур справился за пару минут, а вы справитесь?

Известно, что город Вл. на карте представляет собой дерево из $$$n$$$ вершин. Дерево — связный граф без циклов, петель и кратных ребер. Недавно, власти города Вл. решили расширить одну из самых главных улиц — проспект. Проспект на карте — это простой путь из вершины $$$a$$$ в вершину $$$b$$$. Расширение произойдет следующим образом: сначала власти выберут две вершины, которые не соединены ребром, далее они построят ребро между этими двум вершинами. Цена расширения — максимальное расстояние в дереве между вершинами $$$a$$$ и $$$b$$$ после добавления ребра. Определите максимальную цену, которую можно получить таким образом.

Дан прямоугольник, заданный двумя массивами $$$A$$$ и $$$B,$$$ размеры которых $$$N$$$ и $$$M$$$ соответственно. Прямоугольник разбит на $$$N$$$x$$$M$$$ секторов, которые пронумерованы сверху вниз по вертикали и слева направо по горизонтали. Сектор с номером $$$(i, j)$$$ имеет высоту $$$A_i$$$ и ширину $$$B_j$$$. Так же дано число $$$S$$$. Вы можете покрасить любое количество этих секторов в черный цвет, чтобы выполнялись следующие условия:

$$$1.$$$ Покрашенные сектора должны образовывать связную область.

$$$2.$$$ Область, покрашенная в черный цвет должна образовывать прямоугольник.

$$$3.$$$ Площадь образованного прямоугольника не должна превышать $$$S$$$.

Ваша задача — определить максимальное количество секторов, которые могут быть закрашены в черный цвет, так чтобы выполнялись все вышеперечисленные условия.

У Васи есть ящик, в котором лежат шары $$$n$$$ различных цветов. Цвета пронумерованы от $$$1$$$ до $$$n$$$. Шаров цвета $$$i$$$ ровно $$$a_i$$$ штук. Так же у Васи есть массив $$$b$$$ из $$$n$$$ элементов. Вася, не глядя, хочет взять из ящика $$$x$$$ шаров так, чтобы шаров цвета $$$i$$$ было хотя бы $$$b_i$$$ штук. При каком наименьшем $$$x$$$ это гарантировано возможно?

Эта задача про обычного кузнечика, который существует на координатной прямой $$$OX$$$.

Изначально, он находится в точке $$$1$$$ и хочет добраться до точки с номером $$$n$$$. За один ход он может увеличить свою текущую позицию либо на $$$1$$$, либо на $$$2$$$ (то есть, может прыгнуть вперёд на $$$1$$$ или на $$$2$$$ позиции). Сколько существует способов добраться до желаемой координаты с номером $$$n$$$, если вдобавок ко всему, он может не более одного раза прыгнуть назад на любое количество единиц? Кузнечик не может находиться в координатах меньше, чем $$$1$$$ и больше, чем $$$n$$$. Так как, ответ может быть слишком большим — требуется посчитать его по модулю $$$10^9+7$$$. Так же, если кузнечик добрался до желаемой позиции, то он намерен остановиться (то есть, он не может прыгать назад, находясь в позиции с номером $$$n$$$).

У Васи в плейлисте Тындекс.Музик есть песни $$$n$$$ различных жанров. Жанры пронумерованы от $$$1$$$ до $$$n$$$. Известно, что в плейлисте ровно $$$a_i$$$ песен жанра $$$i$$$. Вася хочет упорядочить песни таким образом, чтобы песни одинаковых жанров не играли два раза подряд. Определите, возможно ли это сделать.

Шлягером размера $$$n$$$ называется таблица $$$n$$$ на $$$n$$$, где каждая клетка таблицы равна либо $$$1$$$, либо $$$0$$$, и нет двух соседних по сторонам клеток одновременно равных $$$1$$$. Ваша задача — посчитать количество шлягеров размера $$$n$$$.