У Кроша есть массив из $$$n$$$ целых положительных чисел. Помогите ему посчитать следующую сумму $$$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=i+1}^n |a_i - a_j| * (a_i + a_j)$$$. Выведите ответ по модулю $$$10^9+7$$$.

У Кроша есть массив из $$$n$$$ неотрицательных целых чисел. Красоту массива он определяет следующим образом. Сначала он выбирает число $$$1 \le k \le n$$$ и некоторую последовательность $$$b$$$ из $$$k$$$ различных чисел $$$1 \le b_i \le n$$$. Затем он определяет значение этой последовательности $$$V(b)$$$ как сумму элементов массива $$$a$$$ на соответствующих позициях: $$$V(b) = \sum \limits_{i = 1}^k a_{b_i}$$$. Тогда красота массива $$$a$$$ определяется как побитовое исключающее ИЛИ(xor) всех значений $$$V(b)$$$ по всем возможным последовательностям $$$b$$$, которые можно получить приведенным выше способом(выбрать $$$k$$$ и $$$k$$$ различных целых чисел от $$$1$$$ до $$$n$$$). Помогите Крошу определить красоту массива $$$a$$$.

Вам дан массив из $$$n$$$ положительных целых чисел. Вам нужно определить, можно ли переставить его элементы таким образом, чтобы выполнялось следующее условие: $$$a_1 \lt a_2 \gt a_3 \lt a_4 \gt a_5...$$$, то есть первый элемент должен быть строго меньше второго, второй строго больше третьего, третий строго меньше четвертого, и так далее. Если такой порядок существует, то выведите $$$n$$$ чисел – получившийся массив. Если такого порядка не существует, просто выведите $$$-1$$$. Если существует несколько правильных ответов, выведите любой из них.

Крошу в качестве домашнего задания по математике задали посчитать следующую сумму ряда: $$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{n^k}{2^n}$$$, где $$$k$$$ - заданное число. Помогите ему решить эту задачу, для данного $$$k$$$ выведите сумму ряда. Гарантируется, что ответ - целое число. Так как ответ может получиться большим, выведите его по простому модулю $$$10^9+7$$$.

Крош недавно начал изучать теорию вероятностей, и ему в голову пришла следующая задача: пусть имеется массив из $$$n$$$ натуральных чисел от $$$1$$$ до $$$x$$$ и число $$$k$$$. Далее происходят $$$k$$$ действий, на каждом действии берется текущий массив и одновременно между каждой парой соседних чисел добавляется случайное число от $$$1$$$ до $$$x$$$, числа выбираются равновероятно и независимо на каждом шаге и в пределах одного шага. Крош задался вопросом, каково математическое ожидание количества отрезков из одинаковых чисел после $$$k$$$ шагов алгоритма? Например, если $$$a = [1, 2, 4, 1, 1, 5, 5, 6]$$$, $$$x = 6$$$, то количество отрезков равно $$$6$$$. После выполнения шага алгоритма мы можем получить такой массив: $$$[1, 5, 2, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 5, 6, 5, 2, 6]$$$, в котором $$$11$$$ отрезков.

У Кроша есть два числа $$$n$$$ и $$$m$$$. Он называет массив из $$$k$$$ элементов хорошим, если любые два его соседних элемента отличаются ровно на единицу, то есть для любого $$$1 \le i \le k - 1$$$ $$$|a_i - a_{i + 1}| = 1$$$. Обратите внимание, что любой массив длины $$$1$$$ является хорошим. Помогите Крошу посчитать количество хороших массивов из $$$m$$$ элементов, состоящих из натуральных чисел от $$$1$$$ до $$$n$$$, таких, в которых каждое число от $$$1$$$ до $$$n$$$ встречается хотя бы раз. Так как ответ может получиться большим, выведите его остаток от деления на $$$10^9+7$$$. Два массива считаются различными, если существует позиция, на которой в этих массивах стоят разные элементы.

Крош называет массив длины $$$n$$$ интересным, если он состоит из $$$n$$$ чисел, каждое из которых принимает значение от $$$0$$$ до $$$9$$$ и их сумма делится на $$$3$$$. Помогите ему посчитать количество интересных массивов длины $$$n$$$.

У Кроша есть три числа $$$n$$$, $$$m$$$, $$$k$$$. Помогите ему посчитать количество массивов длиной $$$n$$$, состоящих из целых чисел от $$$1$$$ до $$$m$$$, сумма элементов которых делится на $$$k$$$. Выведите ответ по модулю $$$10^9+7$$$.

У Кроша есть массив $$$a$$$ из $$$n$$$ целых неотрицательных чисел. Помогите ему посчитать следующую величину

$$$\sum\limits_{l = 1}^n \sum\limits_{r = l}^n (a(l) $$$ $$$^$$$ $$$a(l + 1) $$$^$$$ $$$... $$$^$$$ $$$a(r)) * max(a(l), a(l + 1), ..., a(r))$$$. (^ - операция побитового исключающего ИЛИ - XOR).

Выведите ответ по модулю $$$10^9+7$$$.

У Кроша есть массив целых неотрицательных чисел $$$a_1, a_2, ..., a_n$$$, а также некоторое число $$$m$$$. Он определяет красоту $$$F$$$ последовательности чисел $$$a_1, a_2, ..., a_n$$$ как $$$F(A) = a_1 $$$ $$$mod$$$ $$$m$$$ $$$+ a_2 ^ 2$$$ $$$mod$$$ $$$m$$$ $$$+ a_3 ^ 3$$$ $$$mod$$$ $$$m$$$ + ... + $$$a_n ^ n$$$ $$$mod$$$ $$$m$$$(число вверху означает степень), где $$$x$$$ $$$mod$$$ $$$m$$$ означает остаток от деления числа $$$x$$$ на $$$m$$$. Крош хочет переставить элементы его массива таким образом, чтобы максимизировать его красоту, то есть найти такой порядок элементов, который дает максимально возможную красоту. Помогите ему определить, какое максимальное значение может принимать красота массива, если можно произвольным образом переставить его элементы.