Дважды в течение пары Азат пытался отпроситься, чтобы сбегать в столовую, но преподаватель был непреклонен. Кое-как дождавшись перемены, Азат понял, что рискует не успеть проделать весь свой путь: аудитория $$$\rightarrow$$$ лифт $$$\rightarrow$$$ столовая $$$\rightarrow$$$ лифт $$$\rightarrow$$$ новая аудитория. Расстояние от любой аудитории до лифта, как и расстояние от лифта до столовой, Азат пробегает за $$$T$$$ секунд; лифт ждать не надо — он всегда приезжает моментально; лифт движется со скоростью один этаж в секунду; ну и естественно, Азату нужно ровно $$$D$$$ секунд, чтобы покушать. Какой минимальной продолжительности должна быть перемена, чтобы Азат благополучно пообедал и не опоздал на следующую пару?

А вот Бекарыс уже покушал и готов находить четвёртые справа цифры факториалов разных чисел. Ведь этим все и занимаются после плотного обеда, не так ли?

Да, дела у Надиры с её автосалоном идут хорошо. Правда, у него до сих пор нет названия. Надира даже частично выкупила авторские права на букву 'a'. Теперь она может использовать эту букву, но не слишком часто: ей нельзя ставить буквы 'a' рядом друг с другом. Сколько разных допустимых вариантов названий есть у Надиры?

Куб, находящийся во владении команды Снежный Куб и являющийся её талисманом, представляет собой кубик единичного размера. Одна его грань окрашена в красный цвет, противоположная ей — в синий, остальные четыре белы как снег. Кубик стоит на своей красной грани в левом верхнем углу доски $$$N \times M$$$. Тимур с Еруланом (только с разрешения Александры, конечно) могут перекатить куб через ребро на одну из четырёх соседних клеток доски, если она не занята. Какое наименьшее количество перекатываний им понадобится, чтобы этот куб оказался на своей начальной позиции, стоя на синей грани?

В нашем филиале чтят традиции. Вот и Куат, Димитрий и Павел переняли традицию команды Big Dipper пить чай на тренировках. Как и их старшие товарищи, они определили комфортную температуру чая, при которой его можно пить — от $$$L$$$ до $$$R$$$ градусов. Сейчас перед ними $$$N$$$ чашек с чаем. Сколько у них различных способов смешать чай из двух чашек так, чтобы получился чай комфортной температуры?

Плюс жизни под землёй в том, что вам не надо покупать жильё по высоким ценам, ведь вы можете вырыть себе квартиру сами! Как раз этим и занят домашний питомец Ануара — крот Кртек. Он начинает с одной свободной квадратной клетки. Затем он выбирает одно из четырёх направлений, расчищает, если нужно, соседнюю клетку в этом направлении и перемещается туда. Какое максимальное количество дверей сможет поставить крот Кртек так, чтобы из любой точки полученного жилища он мог попасть в любую другую, не пройдя ни через одну дверь?

Квадрат числа 26 равен 676 — палиндрому. Также палиндром получится, если в квадрат возвести 2285. Этими и подобными числами заинтересовался Рамазан, дав им название золотых. Все эти числа он мог бы выписать на полях Демидовича, но там слишком мало места. Каждому, кто сможет внести хоть какой-то вклад в развитие теории золотых чисел (то есть, не палиндромов, дающих палиндромы при возведении в квадрат), Рамазан обещает дать два пирожка: с картошкой и капустой. Не сто тысяч марок, конечно, но тоже достойная награда. Покажите, что вы заслуживаете этот приз.

«С понедельника никакого сладкого!» — твёрдо решил Илья. Но пока только суббота и перед ним на столе медовый торт. На коробке написано «Звёздный торт», но Илья относится к этому названию с некоторой долей скепсиса. Всем ведь известно, что $$$2n$$$-угольный торт может называться звёздным, только если углы, от которых можно отрезать треугольный кусок, чередуются с углами, от которых нельзя отрезать треугольный кусок. Помогите Илье определить, является ли данный торт звёздным на самом деле.

Абырвалг. Поехали!