Первое, что пришло в голову:

1. Поменять местами параметр и результат в какой-нибудь динамике
2. Применить афинное преобразование ко входным данным, чтобы убить дурацкие углы
3. Преобразование динамики в возведение матрицы в степень
4. Тернарный поиск с золотым сечением
5. Поиск k-й порядковой статистики (или медианы) на какой-нибудь фигне при помощи бинарного поиска и заменой чисел на 0/1(/-1)

Вот 2 интересные, на мой взгляд, идеи.

1. В задачах, где нужно хранить сеты с какой-то информацией о вершинах дерева (например, их цвета) и передавать их наверх, при объединении будем перекладывать элементы из меньшего по размеру сета в больший. Тогда решение работает за асимптотику O(NlogN), а не O(N²), как сперва кажется. Причина в том, что при каждом перекладывании элемента размер сета, в котором он хранится, увеличивается как минимум в 2 раза. Таким образом, каждый элемент будет переложен не более чем O(logN) раз. Примеры таких задач: задача F с Харьковской зимней школы 2012, 246E - Братья по крови возвращаются с недавнего CF раунда.

2. В задачах на строки недостаточно одного хэша по модулю порядка 10⁹. Объясняется это парадоксом дней рождения — чтобы вероятность взломать хэш-функцию, принимающую N различных значений, превысила 50%, требуется порядка случайных строк. Поскольку в качестве входных данных бывают строки длины до 10⁶, то вероятность коллизии очень велика. Значит, нужно использовать хэширование по двум простым модулям.

1) Хеш как идея. Прямая индексация где-то рядом. Идея применения такой штуки не ограничивается сравнениями строк да хеш-таблицами. Применяется в распределенных и параллеьных вычислениях например, еще кое-где не буду спойлерить задумку задачи.
2) Структура данных с откатами. Поделали чего-то, поизменяли структуру выполнив O(k) действий, значит за время O(k) можно вернуть структуру в исходное состояние, выполнив её изменения в обратном порядке.
3) Персистентные структуры данных.
4) Разделяй-и-властвуй. применятся на каждом шагу, даже не замечая этого. тот-же бинпоиск можно сказать на этой идее сделан.

Массив с очищением за O(1) или тегированный массив.

Объявляем:

• Обычный массив
• Массив, где для каждого элемента исходного массива будет храниться время изменения (массивы можно слить в один, используя структуры или записи)
• Переменную текущего времени

Пользуемся:

• При обращении к элементу сравниваем текущее время с временем изменения элемента. Если текущее время больше, значит, данные устарели, и мы считаем, что в ячейке 0 (или то, что играет роль нуля в задаче), иначе всё как обычно.
• Изменяя элемент, мы изменяем время этого элемента на текущее.
• Чтобы очистить весь массив, увеличиваем текущее время.

1. Meet-in-the-middle. Например, задача о рюкзаке решается этим приёмом за O(2^n / 2 * n). При этом используется метод 2
2. Метод двух указателей

Конечно, это примитивно, но тоже в каком-то роде идеи: 1) Считывание всего инпута и его обработка в удобном нам порядке. 2) Оффлайновый предпросчет (precalc) в задачах с малым количеством возможных инпутов за время, ограниченное продолжительностью контеста;) 3) Когда вещественные числа в инпуте заданы с фиксированной точностью, удобно их домножить на 10 в какой-то степени и работать с целыми.

В задачах с баллами иногда имеет смысл забивать ответы к некоторым тестам заранее. Если у таких задач сложный инпут, можно просто сравнивать его со своими тестами просто построчно, а потом переоткрыть input-файл и читать уже с парсингом.

А, а ещё идея "пошаффлим входные данные". Так, например, можно найти минимальную покрывающую точки окружность за линию.

Уж и не знаю насколько идея интересна, может это вообще классика, хоть скажете тогда как это называется) В одной задаче требовалось найти наибольшую возможную длину пути по графу, у которого все ветки одинаковой длины. Циклов нет. Вообще задачка школьная, со смешными ограничениями. У нас кто решил просто делали dfs из всех вершин. Я тогда про dfs и не слышал. Думал наверное неделю, дошло — надо проходить по списку вершин и удалять те, у которых есть только одна связь. Так делать пока в списке не останется одна или ноль вершин. Теперь смотрим сколько раз нам удалось пройтись, пусть N раз. Если вершина осталась одна, ответ 2*N. Если не осталось — 2*N + 1. Помнится очень гордился своей придумкой) Вообще идея пришла когда я себе представил граф в виде гаек, связанных ниточками. Вот взял я кучу гаек, связал, запутал как мог. И где теперь решение? Вот оно, от этой гайки до этой. По пальцу в них суешь и растягиваешь. Все несущественные "отростки" как бы обвисают на этой самой длинной "прямой". Вот хорошо бы их убрать как-то. Заметил, что из самой дальней гайки "отростка" до ближайшей гайки "прямой" можно добраться никак не быстрее, чем из ближайшей крайней гайки этой "прямой". Начал представлять по шагам, как иду от края отростка и от края прямой одновременно. Ну и тут собственно пришла идея что надо их удалять, а не идти по ним. Последнюю часть написал чисто чтобы было проще таким как я)

А кто-нибудь может рассказать, что за идея подразумевается под упомянутым в этом блоге "линейным поиском 2го минимума"?

Нахождение решения динамики по двум параметрам используя линейный размер памяти (когда нам нужна только строчка чтобы посчитать следующую строку в матрице динамики, но мы хотим еще и путь восстановить потом). Потоки с использованием бинарного поиска и асимптотика такого алгоритма.

Я однажды решал на cf сложную задачу, но у меня не получалось. Тогда я использовал прикольную идею: я скопировал код tourist, и получил АС.