Судя по всему, нужно аккуратно расписать формулы в соответствии с условием задачи. Предположим, что мы знаем, что ответ равен $$$T$$$. Какие на него есть условия, когда Никита не использует ИИ? Сколько строк кода напишут ребята?

Они напишут $$$T\cdot (x + y)$$$ строк кода и мы хотим, чтобы выполялось $$$T\cdot (x + y) \ge n$$$, тогда $$$T \ge \frac{n}{x+y}$$$. А что если они будут использовать ИИ?

Тогда они напишут $$$T\cdot x + (T-z)\cdot 10\cdot y$$$ строк. Какое тогда есть ограничение на $$$T$$$?

$$$T\cdot x + (T-z)\cdot 10\cdot y \ge n$$$, тогда $$$T\cdot(x+10y) \ge n + 10zy$$$, тогда $$$T \ge \frac{n + 10zy}{x+10y}$$$.

Выбираем максимум из двух выражений и округляем вверх.

Какой самый простой случай можно рассмотреть?

Когда $$$n=2$$$. Как его решить?

Обозначим два числа за $$$X,Y$$$, тогда можно взять например такой ответ: "XYYXXYXY", тогда для $$$X$$$ расстояния образуют множество $$$(3,1,2)$$$, а у $$$Y$$$ множество $$$(1,3,2)$$$. Как теперь решить для случая $$$n=3$$$?

Можно например взять ответ из прмеров или например такую строку: "XYZXXZXYYZZY". Как теперь решить задачу для четных $$$n$$$?

Можно разбить числа на пары $$$(1,2),(3,4),\ldots,(n-1,n)$$$, для каждой пары мы можем построить блок длины $$$8$$$, останется их только склеить. А как решить задачу для нечетных $$$n$$$?

Если $$$n$$$ нечетное, то $$$n \ge 3$$$, тогда мы можем построить блок для чисел $$$(n-2,n-1,n)$$$ длины $$$12$$$. Нам остается только решить задачу для оставшихся $$$(n-3)$$$ чисел. А это мы уже умеем делать, т.к. $$$(n-3)$$$ — четное число.

Первое, на что обратил внимание — это ограничения задачи, которые позволяют ее решить за $$$O(n^2)$$$, то есть можно что-нибудь перебрать за $$$O(n)$$$, а дальше посчитать что-то за $$$O(n)$$$.

У нас есть скобки всего двух типов: "(" и ")". Пусть мы удалим $$$x$$$ скобок "(" и $$$y$$$ скобок ")", тогда $$$x+y \le k$$$. Какие скобки типа "(" нам выгоднее всего удалять?

Нам выгоднее всего удалить $$$x$$$ самых левых скобок "(", почему?

Посмторим на оптимальный ответ. В нем мы можем найти ПСП какой-то длины. Посмотрим на первый символ этой ПСП, он равен "(", причем мы можем считать, что это самая первая скобка в строке (если это не так, тогда мы можем заменить первый символ на скобку "(" левее). Т.к. мы предположили, что мы удалили не $$$x$$$ самых левых скобок "(", тогда есть удаленная скобка, которая правее скобки "(" в ПСП, мы можем вместо удаления этой более правой скобки удалить скобку из ПСП, тогда сама ПСП не увеличится.

Хорошо, а какие тогда скобки ")" нам выгоднее всего удалять?

Нам выгоднее всего удалять $$$y$$$ самых правых скобок ")". Как тогда решать задачу? Что можно перебрать?

Мы можем перебрать $$$x$$$ за $$$O(n)$$$, тогда $$$y=k-x$$$. Остается только удалить скобки за $$$O(n)$$$ и посчитать длину максимальной ПСП в оставшейся строке. Как это сделать?

Можно это сделать жадно. Будем идти слева направо и поддерживать текущее количество скобок "(" без парной ")" (пусть это число равно $$$b$$$), а также количество уже спаренных скобок (это и есть длина ПСП). Если текущий символ "(", что тогда можем сделать?

Можем увеличить $$$b$$$ на единицу, а если текущий символ — это ")"?

Тогда мы можем попытаться спарить эту скобку с какой-то из "(". То есть, если $$$b \gt 0$$$, то мы можем уменьшить $$$b$$$ на единицу и увеличить ответ на $$$2$$$.

Первое, на что обратил внимание, что мы можем сжать координаты и считать, что $$$0 \le a_i \lt n$$$. Тогда для каждого $$$0 \le x \lt n$$$ мы можем выписать все позиции $$$i$$$, что $$$a_i=x$$$.

Как нам для конкретного $$$x$$$ проверить, что все числа в массиве $$$a_i=x$$$ образуют один отрезок?

Пусть $$$l$$$ — минимальная позиция $$$a_l=x$$$, а $$$r$$$ — максимльная, пусть $$$c$$$ — количество элементов в массиве, равных $$$x$$$. Как проверить условие?

Достаточно проверить, что $$$r - l + 1 = c$$$. Хорошо, теперь какой бывает простой случай?

Пусть $$$F(x) = 1$$$, если $$$x$$$ образует единый отрезок и $$$0$$$ иначе. Тогда простой случай, когда $$$F(x)=1$$$ для всех $$$x$$$. Хорошо, осталося случай, когда есть какой-то $$$y$$$, что $$$F(y)=0$$$. Что тогда? Какую позицию тогда точно нужно будет поменять?

Тогда мы знаем, что $$$r-l+1 \gt c$$$ и есть "дырки", то есть позиции, в которых стоят какие-то другие числа. В таком случае мы будем обязаны обменять местами либо $$$l$$$, либо $$$r$$$ с кем-то другим, т.к. иначе величина $$$r-l+1$$$ может только увеличиться, а $$$c$$$ не изменится. Тогда сколько всего можно перебрать пар для обмена местами?

Мы можем перебрать пары $$$(l,i),(r,i)$$$ для всех $$$i$$$, то есть всего есть $$$O(n)$$$ пар. Как нам для конкретной пары проверить, помогает ли она или нет?

Мы можем поддерживать множество позиций в std::set<int>, тогда операцию swap и проверку конкретного $$$x$$$ можно еализовать за $$$O(\log{n})$$$. Как тогда решить задачу?

Давайте поддерживать количество $$$x$$$, что $$$F(x)=0$$$ Давайте переберем все пары для swap , сделаем этот swap и обновим количество плохих $$$x$$$-ов. Если помогло, то выводим ответ, а иначе меняем обратно, возвращая все на место и идем дальше.

Зафиксирую конкетную перестановку бит из условия. Какие простые условия можно проверить?

Мы хотим, чтобы не было нуля, а также чтобы все числа были разные. Тогда какое единственное условие может быть нарушено?

Скажем, что перестановка бит хорошая, если максимальный элемент после перестановки бит не больше $$$n$$$. Тогда чему равен ответ?

Он равен количеству хороших перестановок, потому что разные перестановки бит дают разные перестановки массива $$$p$$$. Можем ли мы перебрать все перестановки бит $$$a_0,a_1,\ldots,a_{k-1}$$$?

Да, можем, потому что $$$\log_2(n) \le 11$$$, а $$$11! \le 4\cdot 10^7$$$. Что останется сделать?

Останется проверить, что для конкретной перестановки бит все числа будут не больше $$$n$$$. Что значит, что число $$$x$$$ больше числа $$$n$$$?

Это когда мы сравниваем два числа начиная со старших бит и находим первое несовпадение в бите $$$j$$$ и так оказывается, что $$$n_j=0,x_j=1$$$, то есть $$$j$$$-й бит числа $$$n$$$ равен нулю, а у числа $$$x$$$ он равен единице.

Тогда мы можем перебирать биты начиная со старшего, пусть смотрим на бит $$$j$$$, тогда мы хотим проверить, есть ли число $$$x$$$, что в битах $$$a_q$$$ (здесь $$$q \gt j$$$) в нем стоит то же самое, что в бите $$$q$$$ числа $$$n$$$, а в бите $$$a_q$$$ стоит единица, в то время как у $$$n$$$ стоит ноль. Как мы можем это проверить?

Перебирая биты мы можем поддерживать маску бит, которые нам интересны, а также строить желаемое число которое мы хотим получить. Дальше мы можем запомнить для каждой маски, какие есть числа в исходном массиве, если мы хотим рассматривать только биты из конкретной маски.