• Отличный:
• Хороший:
• Обычный:
• Плохой:
• Ужасный:

• A:
• B:
• C:
• D:
• E:
• F:
• G:

• A:
• B:
• C:
• D:
• E:
• F:
• G:

Докажите, что число $$$2$$$ не является идеальным генератором. Какие еще числа не являются идеальными генераторами по той же причине?

Докажите, что число $$$3$$$ является идеальным генератором. В чем отличие от предыдущего случая?

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int main() {
    int t;
    cin >> t;
 
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        if (n % 2 == 1) {
            cout << "YES\n";
        } else {
            cout << "NO\n";
        }
    }
 
    return 0;
}

Какую минимальную стоимость можно получить?

Сколько ненулевых цифр должно быть в оставшемся числе, чтобы стоимость была минимальна?

Как добиться, чтобы в числе было как можно больше ведущих нулей?

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        string s;
        cin >> s;
        int n = s.size();
        bool met_positive = false;
        int cnt_zero = 0;
        
        for (auto i = n - 1; i >= 0; --i) {
            if (s[i] != '0') {
                met_positive = true;
            } else if (met_positive) {
                cnt_zero++;
            }
        }
        
        cout << n - (cnt_zero + 1) << '\n';
    }
    return 0;
}

$$$y$$$ всегда делится на $$$x$$$.

Что происходит, если $$$k \geq 2$$$?

Если $$$k \geq 2$$$ и $$$x \geq 2$$$, то $$$y$$$ никогда не будет простым. А есть ли крайние случаи с $$$k = 1$$$ или $$$x = 1$$$?

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
bool is_prime(int x) {
    if (x <= 1) {
        return false;
    }
    for (int i = 2; i * i <= x; i++) {
        if (x % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
 
void solve() {
    int x, k;
    cin >> x >> k;
    if (k > 1 && x > 1) {
        cout << "NO";
    } else if (k == 1) {
        cout << (is_prime(x) ? "YES" : "NO");
    } else {
        cout << ((k == 2) ? "YES" : "NO");
    }
}
 
int main() {
    int tests;
    cin >> tests;
    while (tests--) {
        solve();
        cout << '\n';
    }
}

Как меняется ответ при уменьшении $$$n$$$?

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int main() {
    int t;
    cin >> t;
    
    while (t--) {
        int n, q;
        cin >> n >> q;
        
        while (q--) {
            string type;
            cin >> type;
            
            if (type == "->") {
                int x, y;
                cin >> x >> y;
                x--, y--;
                
                long long num = 0;
                for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
                    int cur = 1 << i;
                    if (!(x & cur) && !(y & cur))
                        num ^= 0ll << (2 * i);
                    if ((x & cur) && (y & cur))
                        num ^= 1ll << (2 * i);
                    if ((x & cur) && !(y & cur))
                        num ^= 2ll << (2 * i);
                    if (!(x & cur) && (y & cur))
                        num ^= 3ll << (2 * i);
                }
                cout << num + 1 << '\n';
            }
            else {
                long long num;
                cin >> num;
                num--;
                
                int x = 0, y = 0;
                for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
                    long long cur = 3ll << (2 * i);
                    if ((num & cur) >> (2 * i) == 0)
                        x ^= 0 << i, y ^= 0 << i;
                    if ((num & cur) >> (2 * i) == 1)
                        x ^= 1 << i, y ^= 1 << i;
                    if ((num & cur) >> (2 * i) == 2)
                        x ^= 1 << i, y ^= 0 << i;
                    if ((num & cur) >> (2 * i) == 3)
                        x ^= 0 << i, y ^= 1 << i;
                }
                cout << x + 1 << ' ' << y + 1 << '\n';
            }
        }
    }
    
    return 0;
}

Как проверить, существует ли разбиение для фиксированного $$$x$$$?

Можно использовать бинарный поиск.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

vector<int> nums(2e5 + 5, 0);

bool check(vector<int>& v, int k, int m)
{
    int cnt = 0;
    int cur_mex = 0;
    for (int i = 0; i < v.size(); i++) {
        if (v[i] <= v.size() + 1) {
            nums[v[i]] = 1;
        }
        while (nums[cur_mex]) {
            cur_mex++;
        }
        if (cur_mex >= m) {
            cnt++;
            for (int j = 0; j < min(m + 1, (int)v.size() + 2); j++) {
                nums[j] = 0;
            }
            cur_mex = 0;
        }
    }
    for (int j = 0; j < v.size() + 2; j++) {
        nums[j] = 0;
    }
    return cnt >= k;
}

void solve()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;

    vector<int> v(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> v[i];
    }

    int l = 0;
    int r = 1e9;
    while (r - l > 1) {
        int m = (r + l) / 2;
        if (check(v, k, m)) {
            l = m;
        } else {
            r = m;
        }
    }

    cout << l << '\n';
}

signed main()
{
    int t;
    cin >> t;
    for (int i = 0; i < t; i++) {
        solve();
    }
    return 0;
}

Нам нужно гарантировать, что мы составим массив $$$a$$$. Тогда при обращении к нейросети стоит рассматривать худший случай.

Прочитайте предыдущую подсказку. Сколько операций первого типа, применённых к $$$i$$$-й нейросети, нам потребуется, чтобы получить от неё хотя бы одно правильное (то есть такое, что $$$b_{i, j}= a_j$$$) слово?

Прочитайте предыдущую подсказку и ответ на неё. С какой нейросети оптимально будет начать? Сколько будет пропусков в массиве $$$c$$$ после взаимодействия с этой нейросетью?

В массиве $$$c$$$ сейчас нет пропусков, но на некоторых позициях стоят неправильные слова. За сколько операций можно заменить одно неправильное слово на правильное?

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<string> a(n);
    for (auto &i: a) {
        cin >> i;
    }
    vector<vector<string>> b(m, vector<string>(n));
    for (auto &ar: b) {
        for (auto &s: ar) {
            cin >> s;
        }
    }
    vector<bool> exists(n);
    int x = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int cnt = 0;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (a[j] == b[i][j]) {
                cnt++;
                exists[j] = true;
            }
        }
        x = max(x, cnt);
    }
    if (all_of(exists.begin(), exists.end(), identity())) {
        cout << n + 2 * (n - x) << "\n";
    } else {
        cout << "-1\n";
    }
}
 
int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

Пусть самый короткий отрезок будет иметь границы $$$l$$$ и $$$r$$$. Что тогда можно сказать про индексы $$$i$$$ и $$$j$$$ для которых достигается максимум выражения $$$a_i \oplus a_j$$$?

Операцию $$$x \oplus y$$$ над числами int32 можно представить как XOR двух бинарных строк длины $$$32$$$. Что тогда можно сказать про сравнение чисел? В каком случае выполняется выражение $$$x \oplus y = z$$$? А $$$x \oplus y \gt z$$$?

Как с помощью бора на бинарных строках можно искать ближайший индекс $$$j$$$ такой, что $$$a_i \oplus a_j = k$$$?

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int LOG_X = 29;
 
struct node {
    int children[2] { -1, -1 };
    int last = -1;
};
 
int find(const vector<node>& trie, int value, int border) {
    int res = -1;
    int current = 0;
    bool ok = true;
    for (int position = LOG_X; ok && position >= 0; position--) {
        int x_bit = (value >> position) & 1;
        int k_bit = (border >> position) & 1;
        auto& children = trie[current].children;
        if (k_bit == 1) {
            if (children[x_bit ^ 1] != -1) {
                current = children[x_bit ^ 1];
            } else {
                ok = false;
            }
        } else {
            if (children[x_bit ^ 1] != -1) {
                res = max(res, trie[children[x_bit ^ 1]].last);
            }
            if (children[x_bit] != -1) {
                current = children[x_bit];
            } else {
                ok = false;
            }
        }
    }
    if (ok) {
        res = max(res, trie[current].last);
    }
    return res;
}
 
void add(vector<node>& trie, int value, int index) {
    int current = 0;
    trie[current].last = max(trie[current].last, index);
    for (int position = LOG_X; position >= 0; position--) {
        int x_bit = (value >> position) & 1;
        if (trie[current].children[x_bit] == -1) {
            trie[current].children[x_bit] = trie.size();
            trie.push_back(node());
        }
        current = trie[current].children[x_bit];
        trie[current].last = max(trie[current].last, index);
    }
}
 
void solve() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
 
    int ans = n + 1;
    vector<node> trie(1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        add(trie, x, i);
        int y = find(trie, x, k);
        if (y != -1) {
            ans = min(ans, i - y + 1);
        }
    }
 
    if (ans == n + 1) {
        cout << "-1\n";
    } else {
        cout << ans << '\n';
    }
}
 
int main() {
    int t;
    cin >> t;
    
    while (t--) {
        solve();
    }
 
    return 0;
}