Скоро наступит новый год! Чтобы подготовиться к празднику, Вася выписал все предыдущие года — числа от $$$1$$$ до $$$2024$$$ включительно. Каждое число Вася выписал ровно один раз. Посчитайте, сколько всего цифр написал Вася.

За правильный ответ ваша программа получит $$$100$$$ баллов.

Вася начинает изучать геометрию. Он еще не познакомился со всеми геометрическими объектами, но уже неплохо разбирается в треугольниках. В частности, он знает про неравенство треугольника — в треугольнике длина каждой стороны строго меньше суммы длин двух других сторон.

Перед изучением геометрии Вася успел познакомиться с последовательностями чисел. Ему нравятся последовательности из подряд идущих натуральных чисел (то есть каждое следующее число на $$$1$$$ больше предыдущего) — например, $$$5, 6, 7$$$.

Теперь Вася хочет построить треугольник, периметр которого равен $$$p$$$, а длины сторон — подряд идущие натуральные числа. Разумеется, должно выполняться неравенство треугольника. Определите, существует ли треугольник, удовлетворяющий всем этим условиям.

Для прохождения группы тестов также необходимо, чтобы решение прошло все предыдущие группы тестов.

Вася начал изучать уравнения! Сегодня решил свое первое уравнение в жизни: по заданному числу $$$n$$$ он нашел натуральные числа $$$a$$$ и $$$b$$$ ($$$a$$$ < $$$b$$$), для которых выполняется $$$a+b=n$$$. Васе настолько понравилось это уравнение, что он решил его еще раз — он нашел еще одну пару натуральных чисел $$$c$$$ и $$$d$$$, таких, что $$$c+d=n$$$. Оказалось, что $$$a \lt c$$$ и $$$d \lt b$$$.

До этого Вася изучал комбинаторику, и ему стало интересно, а сколько всего существует аналогичных четвёрок чисел $$$a, b, c, d$$$, для которых выполняется $$$a + b = n$$$, $$$c + d = n$$$ и $$$a \lt c \lt d \lt b$$$?

У учёных есть пробирка, в которой находятся $$$n$$$ бактерий. Для удобства работы бактерии были пронумерованы числами от $$$1$$$ до $$$n$$$.

Неожиданно учёные заметили интересную особенность: две бактерии являются похожими, если суммы цифр в их номерах совпадают. То есть бактерии с номерами $$$i$$$ и $$$j$$$ считаются похожими, если сумма цифр числа $$$i$$$ равна сумме цифр числа $$$j$$$. В противном случае две бактерии считаются различными.

Учёным нравятся похожие бактерии! Они (учёные) хотят вытащить из пробирки несколько бактерий так, чтобы среди этих бактерий были хотя бы две похожие. К сожалению, учёные не могут выбрать номера вытаскиваемых бактерий — они могут управлять только количеством. Подскажите, какое наименьшее количество бактерий нужно вытащить, чтобы среди них всегда была пара похожих, независимо от того, какие именно бактерии были взяты?

У Васи есть строка $$$s$$$ длины $$$n$$$, состоящая из строчных (маленьких) букв. С одной стороны, запомнить сложную строку достаточно сложно. С другой стороны, если в строке повторяются $$$m$$$ или более одинаковых букв подряд, то Вася считает такую строку слишком скучной.

Чтобы строка перестала быть скучной, Вася может выполнять с ней два вида операций:

1. Удалить один символ из строки. Эта операция занимает ровно $$$1$$$ секунду. Получившиеся после удаления части строки склеиваются, таким образом, символы слева и справа от удаленного (если такие были) становятся соседними.
2. Добавить один символ в строку. Эта операция более сложная и требует $$$k$$$ секунд. Символ может быть произвольным, в том числе можно добавлять символы, которых не было в строке. Новый символ можно добавить в конец строки, в начало строки или между любыми двумя уже существующими символами строки.

Посчитайте, какое наименьшее время потребуется Васе, чтобы строка перестала быть скучной.